دوره تناوب در فیزیک – به زبان ساده + حل مثال

در ادامه مطلب آموزشی گسترش اندیشه پویا، با مفاهیم شبکه آشنا می‌شویم:

در علم فیزیک به حرکتی که بارها و بارها تکرار شود، حرکت تناوبی می‌گوییم و مدت زمانی که برای یک تکرار کامل لازم است، دوره تناوب یاTTTنام دارد. در این مطلب از مجله پس از تعریف دوره تناوب، به بررسی تفاوت‌ آن با فرکانس، طول موج و سرعت موج می‌پردازیم. همچنین فرمول‌ دوره تناوب را در حرکت نوسانی ساده، آونگ‌ها و حرکت دایره‌ای بررسی خواهیم کرد. در انتها با حل چند سوال به شما کمک می‌کنیم تا درک کاملی از این مبحث به‌دست آورید.

تفاوت دوره تناوب و فرکانس یک موج را می‌شناسید.یاد می‌گیرید دوره تناوب در نوسان هماهنگ ساده چیست.می‌توانید فرمول دوره تناوب آونگ ساده را به دست آورید.می‌آموزید دوره تناوب آونگ فیزیکی چگونه محاسبه می‌شود.فرمول دوره تناوب در حرکت دایره‌ای را خواهید شناخت.

مفهوم دوره تناوب در فیزیک چیست؟

دوره تناوب در فیزیک به مدت زمانی گفته می‌شود که جسم برای انجام یک چرخه کامل نیاز دارد. این کمیت با نمادTTTنشان داده می‌شود و با توجه به اینکه از جنس زمان است، با واحد استاندارد ثانیه آن را اندازه‌گیری می‌کنیم.

دقت کنید به هر تکرار کامل از حرکت، یک چرخه می‌گوییم. دوره تناوب در مورد امواج به مدت زمانی گفته می‌شود که یک موج برای انجام یک نوسان کامل نیاز دارد. برای مثال، اگر یک نقطه روی سطح آب بالا و پایین رود و هر دو ثانیه مجددا به همان وضعیت اولیه خود بازگردد، دوره تناوب موج آب برابر با دو ثانیه است.

در مثالی دیگر، فرض کنید طنابی را بالا و پایین می‌کنیم. اگر سریع‌تر آن را تکان دهیم، فرکانس موج ایجاد شده بیشتر و دوره تناوب آن کمتر است. اما اگر آرام‌تر طناب را تکان دهیم، دوره تناوب بیشتر می‌شود. در امواج صوتی نیز همین اتفاق می‌افتد، یعنی صدای زیر همان فرکانس بالا و دوره تناوب پایین موج صوتی است، در حالی که صدای بم با فرکانس پایین و دوره تناوب بالای موج صوتی ایجاد می‌شود.

فرمول دوره تناوب در فیزیک

فرمول دوره تناوب در فیزیک بسته به نوع سیستمی که در حال بررسی آن هستیم، ممکن است متفاوت باشد. در جدول زیر تمام این فرمول‌ها را جمع‌آوری کرده‌ایم:

تفاوت دوره تناوب و فرکانس

در این بخش توضیح می‌دهیم ارتباط بین فرکانس و دوره تناوب در فیزیک چیست. فرکانس به تعداد چرخه‌های کامل در واحد زمان گفته می‌شود. نماد این کمیتfffیاνννو واحد اندازه‌گیری استاندارد آن هرتز (HzHzHz) است. در تصویر زیر امواج سینوسی با فرکانس‌های متفاوت را ملاحظه می‌کنید که در آن امواج پایینی فرکانس‌های بالاتری نسبت به امواج بالایی دارند. به همین علت آن‌ها فشرده‌تر نیز بنظر می‌رسند:

از طرفی اگر بخواهیم دوره تناوب را در این امواج بررسی کنیم، به این نتیجه می‌رسیم که امواج بالایی دوره تناوب بزرگتری نسبت به امواج پایینی دارند. پس رابطه بین دوره تناوب در فیزیک و فرکانس معکوس است، یعنی زمانی که فرکانس موجی بزرگ است، دوره تناوب آن کوچک است و برعکس:

T=1fT = \frac{1}{f}T=f1​

یادگیری نوسان و موج با

پیش از بررسی بیشتر این موضوع که حرکت تناوبی چیست، در این بخش چند دوره آموزشی مفید از مجموعه را به شما معرفی ‌می‌کنیم تا با مشاهده این فیلم‌ها اطلاعات خوبی در سطح کتاب‌‌‌های درسی مقطع متوسطه در زمینه فیزیک جدید و امواج کسب کنید:

فیلم آموزش علوم تجربی هشتم – بخش فیزیک فرادرسفیلم آموزش فیزیک دوازدهم فرادرسفیلم آموزش فیزیک دوازدهم – مرور و حل تمرین فرادرسفیلم آموزش فیزیک دوازدهم – نکته و حل تست کنکور فرادرس

برای آشنایی بیشتر با مفهوم دوره تناوب در فیزیک، بهتر است ابتدا حرکت تناوبی و ویژگی‌های آن را بشناسید. حرکت تناوبی به هر حرکتی گفته می‌شود که در بازه‌های زمانی منظم و مساوی تکرار شده و جسم را دوباره به موقعیت اولیه خود بازمی‌گرداند. دقت کنید هر تکرار کامل در حرکت تناوبی را یک چرخه در نظر می‌گیریم. درک حرکت تناوبی به ما کمک می‌کند تا پدیده‌هایی مانند موج‌ها، نوسان‌ها و حرکت سیارات را بهتر توضیح دهیم. این حرکت دارای چند مشخصه مهم است:

نظم و تکرار: الگوهای حرکت بصورت منظم تکرار می‌شوند. هر چرخه در بازه‌های زمانی برابر انجام می‌شود و شکل کلی حرکت در هر تکرار یکسان است.پایستگی انرژی: در نوسان‌ها، انرژی بطور مداوم بین دو شکل جنبشی و پتانسیل جابجا می‌شود. در حرکت هماهنگ ساده انرژی مکانیکی ثابت است.اختلاف فاز: در حرکت هماهنگ ساده کمیت‌های مختلف مانند مکان، سرعت و شتاب همزمان رفتار یکسانی ندارند و بین آن‌ها اختلاف فاز وجود دارد.وابستگی به شرایط اولیه: دامنه و فاز حرکت به شرایط اولیه بستگی دارند.رابطه معکوس دوره تناوب و فرکانس: دوره تناوب و فرکانس رابطه‌ای معکوس به شکلT=1fT = \frac{1}{f}T=f1​دارند.استقلال دوره تناوب از دامنه در SHM: در حرکت هماهنگ ساده، دوره تناوب و فرکانس به دامنه بستگی ندارند.

حرکت هماهنگ ساده یا SHM مانند نوسان آونگ یا حرکت رفت‌ و برگشتی فنر، مرسوم‌ترین مثال از حرکت تناوبی محسوب می‌شود که در آن‌ طبق قانون هوک، نیروی بازگرداننده‌ای که جسم را به سمت نقطه تعادل بازمی‌گرداند، مستقیما با میزان جابجایی جسم متناسب است.

همچنین بسیاری از موج‌ها رفتار تناوبی دارند، یعنی الگوی آن‌ها در بازه‌های زمانی منظم تکرار می‌شود. برای مثال امواج صوتی که در اثر ارتعاش ذرات هوا ایجاد شده و بصورت موج در محیط منتشر می‌شوند، دارای ارتعاشات منظمی‌ هستند که موجب شنیده شدن صدا می‌شود. به‌علاوه نور مرئی، امواج رادیویی و پرتوهای ایکس نمونه‌هایی از امواج الکترومغناطیسی محسوب می‌شوند که به شکل نوسان‌های تناوبی میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی انتشار می‌یابند.

گروه دیگری از حرکت‌های تناوبی مربوط می‌شوند به حرکت دورانی. برای مثال، زمین هر ۲۴ ساعت یک بار به دور محور خود می‌چرخد و همین حرکت باعث پیدایش شب و روز می‌شود یا چرخ‌ و فلک که یک نمونه‌ ساده از حرکت دورانی تناوبی است که در آن هر دور کامل در بازه‌های زمانی منظم تکرار می‌شود. در بخش‌های بعد به تفکیک هر کدام از این حرکت‌ها را بررسی می‌کنیم تا بهتر متوجه شوید فرمول‌های مختلف دوره تناوب در فیزیک چگونه به دست آمده‌اند.

دقت کنید مفهوم دوره تناوب در فیزیک فقط بهشاخه مکانیکمحدود نمی‌شود، بلکه در الکتریسیته نیز این مفهوم بکار می‌رود، چون در بسیاری از مدارهای الکتریکی، ولتاژ و جریان بصورت تناوبی تغییر می‌کنند. برای مثال، جریان متناوب (AC) یا همان برق شهری که در خانه‌ها استفاده می‌شود، از نوع جریان متناوب است. در این نوع جریان، ولتاژ و جریان بطور مداوم تغییر جهت می‌دهند. همچنین مدارهای LC یا مدارهای شامل سلف (L) و خازن (C) نیز رفتار نوسانی دارند. در این مدارها انرژی بصورت مداوم بین میدان الکتریکی خازن و میدان مغناطیسی سلف جابجا می‌شود و همین موضوع نوسان‌های تناوبی ایجاد می‌کند.

رابطه دوره تناوب با طول موج و سرعت موج

در این بخش به بررسی ارتباط سایر ویژگی‌های یک موج و دوره تناوب در فیزیک می‌پردازیم. می‌دانیم هر گونه اختلالی که با انتقال انرژی از مکانی به مکان دیگر در یک محیط یا در خلا منتشر شود،موجنام دارد. ویژگی‌های مختلف امواج به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

فرکانس یاfffبا واحد هرتز: تعداد چرخه‌های موجی که در یک ثانیه از یک نقطه مشخص عبور می‌کنند.طول موج یاλλλبا واحد متر: فاصله بین دو نقطه مشابه پشت سر هم در یک موج.دامنه یاAAAبا واحد متر: ارتفاع موج.دوره تناوب یاTTTبر حسب ثانیه: زمان لازم برای عبور یک موج کامل از یک نقطه مشخص.سرعت موج یاvvvبر حسب متر بر ثانیه: مسافتی که یک حرکت دوره‌ای در واحد زمان طی می‌کند.

رابطه سرعت موج با طول موج و فرکانس یا دوره تناوب به شکل زیر است:

v=λf=λTv = λf = \frac{λ}{T}v=λf=Tλ​

همچنین انواع موج‌ها بر اساس جهت حرکت ذرات عبارت‌اندموج‌های طولی و عرضی. به موجی که در آن ذرات محیط در همان جهت یا در جهت مخالف انتشار موج حرکت می‌کنند، موج طولی گفته می‌شود. چنانچه ذرات محیط در جهتی عمود بر جهت انتشار موج حرکت کنند، موج عرضی داریم. دسته‌بندی دیگر امواج بر اساس توانایی انتقال انرژی در خلا انجام می‌شود که طبق آن دو گروهموج‌های الکترومغناطیسیوموج‌های مکانیکیرا داریم.

موج الکترومغناطیسی موجی است که قادر است انرژی خود را در خلا منتقل کند. این موج‌ از نوسان ذرات باردار ایجاد می‌شود و از میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی تشکیل شده‌ که نسبت به یکدیگر عمود‌ بوده و هر دو نیز بر جهت انتشار عموداند. یک موج الکترومغناطیسی انرژی خود را در خلا باسرعت نورمنتقل می‌کند.

اما موج مکانیکی موجی است که نمی‌تواند انرژی خود را در خلا منتقل کند. این موج‌ها برای انتقال انرژی از یک نقطه به نقطه دیگر به یک محیط نیاز دارند. امواج صوتی نمونه‌ای از امواج مکانیکی هستند که نمی‌توانند در خلا حرکت کنند. امواج آب و امواج ایجاد شده در ورزشگاه نیز از دیگر نمونه‌های موج‌های مکانیکی هستند که هر کدام به یک محیط برای انتشار نیاز دارند.

دوره تناوب در حرکت هماهنگ ساده

نوسان هارمونیک ساده یا SHM نوعی حرکت تناوبی است که در آن نیروی بازگرداننده مستقیما با جابجایی متناسب است و این تناسب توسطقانون هوکتوصیف می‌شود. فرمول‌بندی SHM را می‌توان به عنوان مدلی برای توضیح حرکت یک آونگ ساده یا نوسان یک فنر بکار برد. در ادامه نشان می‌دهیم دوره تناوب در فیزیک برای هر کدام از این دو سیستم چه فرمولی دارد.

فرمول دوره تناوب در سیستم جرم و فنر

در این بخش نشان می‌دهیم چگونه می‌توان با بررسی دینامیک نوسان هارمونیک ساده در مورد نوسان جرم و فنر، فرمول دوره تناوب در فیزیک را برای این سیستم پیدا کرد. مطابق شکل زیر جرم متصل به فنری را در نظر بگیرید. در مورد حرکت هارمونیک ساده و یک‌ بعدی، معادله حرکت را می‌توان از ترکیبقانون دوم نیوتنو قانون هوک به دست آورد:

Fnet=md2xdt2=−kxF_{net} = m \frac{d^2x}{dt^2} = -kxFnet​=mdt2d2x​=−kx

که در آنmmmجرم جسم نوسان‌ کننده،xxxجابجایی آن از موقعیت تعادلی وkkkثابت فنر است.

معادله بالا را به شکل زیر مرتب می‌کنیم تا به یک معادله دیفرانسیل مرتبه دو برسیم:

d2xdt2=−(km)x\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{k}{m}) xdt2d2x​=−(mk​)x

ازحل این معادله دیفرانسیل، جوابی به دست می‌آید که بصورت زیر است:

x(t)=c1cos⁡(ωt)+c2sin⁡(ωt)=Acos⁡(ωt−φ)x(t) = c_1 \cos (ωt) + c_2 \sin (ωt) = A \cos (ωt -φ)x(t)=c1​cos(ωt)+c2​sin(ωt)=Acos(ωt−φ)

ω=kmω = \sqrt{\frac{k}{m}}ω=mk​​

A=c12+c22A = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}A=c12​+c22​​

tan⁡φ=c1c2\tan φ = \frac{c_1}{c_2}tanφ=c2​c1​​

همچنینc1c_1c1​وc2c_2c2​ثوابتی هستند که توسط شرایط اولیه تعیین می‌شوند. البته مبدا به گونه‌ای انتخاب شده است که همان مکان تعادلی باشد. دقت کنید هر یک از این ثابت‌ها یک معنای فیزیکی برای حرکت دارند. دامنه یاAAA، بیشترین جابجایی از موقعیت تعادلی است.ωωωفرکانس زاویه‌ای وφφφفاز است. حالا به کمکمشتق‌گیریاز معادله مکان، می‌توانیم سرعت و شتاب را نیز به عنوان تابعی از زمان به دست آوریم:

v(t)=dxdt=−Aωsin⁡(ωt−φ)v(t) = \frac{dx}{dt} = -A ω \sin (ωt-φ)v(t)=dtdx​=−Aωsin(ωt−φ)

a(t)=d2xdt2=−Aω2cos⁡(ωt−φ)a(t) = \frac{d^2 x}{dt^2} = -A ω^2 \cos (ωt-φ)a(t)=dt2d2x​=−Aω2cos(ωt−φ)

با مقایسه معادلات مکان و شتاب، به این نتیجه می‌رسیم که می‌توان شتاب را بر حسب مکان نوشت:

a(t)=−ω2x(t)a(t) = - ω^2 x(t)a(t)=−ω2x(t)

با توجه به اینکه فرکانس زاویه‌ای به شکلω=2πfω = 2 \pi fω=2πfتعریف می‌شود، پس فرکانس برابر می‌شود با:

f=12πkmf = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}f=2π1​mk​​

و با یادآوری اینکهT=1fT = \frac{1}{f}T=f1​، دوره تناوب در فیزیک برای این سیستم به شکل زیر به دست می‌آید:

T=2πmkT = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}T=2πkm​​

پس با استفاده از قانون دوم نیوتن، قانون هوک و مقداری حساب دیفرانسیل، توانستیم دوره تناوب جرم نوسان‌ کننده روی فنر را به دست آوریم. توجه کنید که دوره تناوب و فرکانس کاملا مستقل از دامنه هستند.

فرمول دوره تناوب در آونگ ساده

می‌دانیمآونگ سادهجرمی است که از یک تکیه‌گاه آویزان شده، به‌ گونه‌ای که بتواند آزادانه نوسان کند. زمانی که یک آونگ از موقعیت تعادلی ساکن خود به طرفین جابجا شود، تحت تاثیر یک نیروی بازگرداننده قرار می‌گیرد. همچنین پس از آنکه در نوسان خود به بالاترین نقطه برسد، گرانش آن را دوباره به سمت موقعیت تعادلی خود شتاب می‌دهد. در مورد جابجایی‌های کوچک، یک آونگ را می‌توان یک نوسانگر هارمونیک ساده در نظر گرفت.

در تصویر زیر آونگ ساده‌ای را ملاحظه می‌کنید که در آن جسمی با جرمmmmاز یک سیم یا نخ با جرم ناچیز آویزان شده است. می‌خواهیم ببینم فرمول دوره تناوب در فیزیک برای این سیستم چیست و چگونه به دست می‌آید:

با تعریف جابجایی به صورت طول قوس یاsssشروع می‌کنیم. طبق شکل می‌بینیم که نیروی برآیند وارد بر گلوله آونگ بر قوس آن مماس و برابر است با−mgsin⁡θ-mg \sin \theta−mgsinθ. در واقع نیروی وزنmgmgmgدارای دو مولفهmgcos⁡θmg \cos \thetamgcosθدر راستای نخ وmgsin⁡θmg \sin \thetamgsinθمماس بر قوس است. کشش نخ مولفهmgcos⁡θmg \cos \thetamgcosθموازی با نخ را خنثی می‌کند. به این ترتیب یک نیروی بازگرداننده خالص باقی می‌ماند که آونگ را دوباره به سمت موقعیت تعادلی درθ=0\theta = 0θ=0بازمی‌گرداند.

حالا اگر بتوانیم نشان دهیم که این نیروی بازگرداننده مستقیما با جابجایی متناسب است، آنگاه یک نوسانگر هارمونیک ساده خواهیم داشت. در تلاش برای تعیین اینکه آیا یک نوسانگر هارمونیک ساده داریم یا نه، باید توجه کنیم که برای زاویه‌های کوچک (کمتر از حدود ۱۵ درجه) تقریباsin⁡θ\sin \thetasinθبرابر است باθ\thetaθ. بنابراین برای این زاویه‌ها، نیروی بازگردانندهFFFبرابر است با:

F≈−mgθF ≈ -mgθF≈−mgθ

از طرفی جابجاییsssمستقیما باθ\thetaθمتناسب است. اگرθ\thetaθبر حسب رادیان نوشته شود، طول قوس در دایره‌ای با شعاعLLLبرابر است با:

F≈mgsLF ≈ \frac{mgs}{L}F≈Lmgs​

حالا اگر ثوابت را برابر باkkkدر نظر بگیریم، رابطه بالا را می‌توانیم همان قانون هوک بدانیم:

k=mgLk = \frac{mg}{L}k=Lmg​

پس برای زاویه‌های کمتر از حدود ۱۵ درجه نیروی بازگرداننده مستقیما با جابجایی متناسب است و آونگ ساده یک نوسانگر هارمونیک ساده است. حالا می‌توانیم دوره تناوب این آونگ را برای دامنه‌های کمتر از حدود ۱۵ درجه پیدا کنیم. در بخش قبل دیدیم برای سیستم جرم و فنر داریمT=2πmkT = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}T=2πkm​​. با جایگذاریkkkدر این عبارت، دوره تناوب در فیزیک برای آونگ ساده برابر می‌شود با:

T=2πmmgLT = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{L}}}T=2πLmg​m​​

T=2πLgT = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}T=2πgL​​

این نتیجه نشان می‌دهد تنها عواملی که بر دوره تناوب یک آونگ ساده تاثیرگذاراند، طول آن و شتاب ناشی از گرانش است و دوره تناوب آن کاملا مستقل از عوامل دیگر مانند جرم است. همچنین اگر طول یک آونگ ساده معلوم باشد، می‌توان از آن برای اندازه‌گیری شتاب گرانش استفاده کرد. به‌علاوه برای زاویه‌های کوچکتر از ۱۵ درجه، نتیجه می‌گیریم که دوره تناوب یک آونگ ساده تقریبا مستقل از دامنه آن است.

فرمول دوره تناوب در آونگ فیزیکی

گفتیم یک آونگ ساده دارای جرمی است که از یک نخ یا میله بدون جرم و بر یک تکیه‌گاه بدون اصطکاکی آویزان شده است. در این شرایط می‌توانیم هر اثری از خود نخ یا میله را نادیده بگیریم. اما یک آونگ فیزیکی (آونگ مرکب) ممکن است توسط میله‌ای که بدون جرم نیست آویزان شده باشد یا بطور کلی‌تر، ممکن است یک جسم صلب با شکل دلخواه باشد که حول یک تکیه‌گاه نوسان می‌کند. در این حالت، دوره تناوب به ممان اینرسی آونگ حول نقطه تکیه‌گاه بستگی دارد.

در این بخش نشان می‌دهیم فرمول دوره تناوب در فیزیک برای چنین آونگی چیست. اما پیش از آن، پیشنهاد می‌کنیم اگر تمایل دارید با مبحث امواج و ویژگی‌های آن در سطوح پیشرفته‌تری آشنا شوید،فیلم آموزش فیزیک ۳ – حل تمرینرا مشاهده کنید که لینک آن نیز در ادامه برای شما قرار داده شده است:

با توجه به اینکه نیروی گرانش از مرکز جرم جسم صلب اثر می‌کند، پس طول آونگی که در معادلات استفاده می‌شود برابر است با فاصله خطی بین تکیه‌گاه و مرکز جرم یعنیhhh. شکل دیگر قانون دوم نیوتن را که بر اساس گشتاور است، می‌نویسیم:

که در آنαααشتاب زاویه‌ای،τττگشتاوروIIIممان اینرسیاست. گشتاور توسط نیروی وزن ایجاد شده است. پس طبق فرمول دیگر گشتاور یعنیτ=mghsin⁡θτ = mgh \sin \thetaτ=mghsinθ، می‌توانیم رابطه بالا را به شکل زیر بنویسیم:

mghsin⁡θ=Iαmgh \sin \theta = I αmghsinθ=Iα

که در آنhhhفاصله مرکز جرم تا نقطه تکیه‌گاه وθθθزاویه نسبت به خط عمودی است. بنابراین طبق تقریب زاویه کوچک که در آنsin⁡θ≈θ\sin \theta ≈ \thetasinθ≈θاست، داریم:

α≈−mghθIα ≈ - \frac{mghθ}{I}α≈−Imghθ​

این رابطه همان فرم زاویه‌ایa(t)=−ω2x(t)a(t) = - ω^2 x(t)a(t)=−ω2x(t)است. پس با مساوی قرار دادنω2ω^2ω2باmghI\frac{mgh}{I}Imgh​خواهیم داشت:

ω=mghIω = \sqrt{\frac{mgh}{I}}ω=Imgh​​

و در نهایت طبق فرمولω=2πTω = \frac{2 \pi}{T}ω=T2π​، دوره تناوب در فیزیک برای این آونگ برابر است با:

T=2πImghT = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}T=2πmghI​​

فرمول دوره تناوب در حرکت دایره‌ ای

در مطالعه حرکت دایره‌ای گفتیم که اگر جسمی روی یک دایره حرکت کند و نیروی مماسی خالص وارد بر آن صفر باشد، طبق قانون دوم نیوتن شتاب مماسی یاaθa_θaθ​صفر است. این توضیح ما را به این نتیجه می‌رساند که اندازه بردار سرعت یا همان تندی، ثابت می‌ماند. چنین حرکتی را حرکت دایره‌ای یکنواخت می‌نامیم.

پس در این نوع حرکت شتاب فقط توسط مولفه شعاعی تعیین می‌شود. از آنجا که تندی ثابت است، مدت زمانی که جسم برای کامل کردن یک دور در دایره‌ای به شعاعrrrصرف می‌کند نیز ثابت خواهد بود. این بازه زمانی را دوره تناوب در حرکت دایره‌ای در نظر می‌گیریم. می‌دانیم در یک دور پیمودن دایره، جسم مسافتی برابر باs=vTs = vTs=vTرا طی می‌کند که برابر است با محیط دایره یعنی2πr2 \pi r2πr. بنابراین داریم:

vT=2πrvT = 2 \pi rvT=2πr

در نتیجه دوره تناوب برابر است با:

T=2πrvT = \frac{2 \pi r }{v}T=v2πr​

از طرفی می‌دانیم در حرکت دایره‌ای سرعت خطی یاvvvبرابر است باrωrωrω. پس می‌توانیم دوره تناوب در فیزیک را برای این حرکت به شکل زیر هم بنویسیم:

T=2πrrω=2πωT = \frac{2 \pi r}{rω} = \frac{2 \pi}{ω}T=rω2πr​=ω2π​

ملاحظه می‌کنید که در نهایت با ساده کردن به همان فرمول قبل برای دوره تناوب رسیدیم. اگر مولفه شعاعی شتاب را نیز به شکل زیر بنویسیم:

∣ar∣=rω2=v2r|a_r| =rω^2 = \frac{v^2}{r}∣ar​∣=rω2=rv2​

این عبارت همان شتاب مرکزی در حرکت دایره‌ای یکنواخت است. اگرωωωرا در آن بر حسبTTTبنویسیم، می‌توانیم فرمول دوره تناوب در فیزیک را برای این نوع حرکت بر حسب شعاع مرکزی نیز به‌‌دست آوریم:

∣ar∣=rω2=r(2πT)2=4π2rT2|a_r| =rω^2 = r (\frac{2 \pi}{T} )^2 = \frac{4 {\pi}^2 r}{T^2}∣ar​∣=rω2=r(T2π​)2=T24π2r​

T=4π2rarT = \sqrt{\frac{4 {\pi}^2 r}{a_r}}T=ar​4π2r​​

دوره تناوب در الکتریسیته

در بسیاری از پدیده‌های الکتریکی کمیت‌هایی مانند ولتاژ و جریان به‌صورت تکرار شونده تغییر می‌کنند. به این نوع تغییرات، تغییرات تناوبی گفته می‌شود. مهم‌ترین مثال آنجریان متناوب یا ACاست که در شبکه برق شهری استفاده می‌شود. دوره تناوب در فیزیک برای این موارد معادل مدت زمانی است که یک موج یا سیگنال الکتریکی برای انجام یک چرخه کامل نیاز دارد.

می‌دانیم جریان الکتریکی به دو نوع جریان مستقیم (DC) و جریان متناوب (AC) تقسیم می‌شود. در جریان مستقیم، الکترون‌ها همواره در یک جهت حرکت می‌کنند، مانند جریان تولید شده توسط یک باتری. اما در جریان متناوب، جهت حرکت بارهای الکتریکی بطور پیوسته تغییر می‌کند. این نوع جریان در نیروگاه‌ها تولید شده و برای انتقال برق شهری بکار می‌رود.

مهم‌ترین ویژگی جریان متناوب این است که مقدار و جهت آن در طول زمان تغییر می‌کند و این تغییرات به شکل موج سینوسی نمایش داده می‌شود. در یک موج سینوسی، جریان از صفر شروع شده، به مقدار مثبت بیشینه می‌رسد، دوباره به صفر بازمی‌گردد، سپس در جهت منفی افزایش می‌یابد و در نهایت دوباره به صفر می‌رسد. این مجموعه تغییرات یک چرخه کامل یا یک دوره تناوب نامیده می‌شود.

به این ترتیب در هر دوره تناوب، جهت جریان دو بار تغییر می‌کند:

نیم‌چرخه مثبتنیم‌چرخه منفی

به همین دلیل وسایل برقی که با جریان AC کار می‌کنند، دائما تحت تاثیر تغییر جهت جریان قرار دارند. با این وجود طراحی این وسایل به گونه‌ای است که بتوانند به‌خوبی با این تغییرات کار کنند. استفاده از جریان متناوب مزایای مهمی دارد. مهم‌ترین مزیت آن امکان انتقال انرژی الکتریکی در فواصل طولانی با تلفات کم است. به کمک ترانسفورماتورها می‌توان ولتاژ AC را به‌راحتی افزایش یا کاهش داد و همین موضوع باعث شده است که شبکه‌های برق جهان بر پایه جریان متناوب طراحی شوند. دوره تناوب در مدارهای AC اهمیت زیادی دارد، زیرا رفتار قطعاتی مانند خازن و سلف به فرکانس و دوره تناوب وابسته است. هر چه فرکانس بیشتر باشد، دوره تناوب کمتر می‌شود و تغییرات جریان سریع‌تر رخ می‌دهد.

حل مثال و تمرین از دوره تناوب در فیزیک

در انتهای این مطلب از مجله چند نمونه سوال حل کرده‌ایم تا به کاربرد فرمول‌های دوره تناوب در فیزیک کاملا مسلط شوید.

اگر یک آونگ ساده202020نوسان را در10s10 \ s10sکامل کند، دوره تناوب و فرکانس آن چقدر است؟

گفتیم فرکانس برابر است با تعداد نوسان‌ها در واحد زمان:

f=2010=2Hzf = \frac{20}{10} = 2 \ Hzf=1020​=2Hz

همچنین بر اساس رابطه معکوسی که بین فرکانس و دوره تناوب وجود دارد، می‌توانیم بنویسیم:

T=1f=12=0.5sT = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0.5 \ sT=f1​=21​=0.5s

یک سیستم جرم و فنر، فنری با ثابت100Nm100 \ \frac{N}{m}100mN​و جرم2kg2 \ kg2kgدارد. دوره تناوب نوسانات این سیستم چقدر است؟

در بخش‌های قبل توضیح دادیم که دوره تناوب سیستم جرم و فنر همان دوره تناوب نوسان هارمونیک ساده است که فرمول زیر را دارد:

T=2πmkT = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}T=2πkm​​

T=2π2100T = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{100}}T=2π1002​​

T=2π0.02≈0.89sT = 2 \pi \sqrt{0.02} ≈0.89 \ sT=2π0.02​≈0.89s

آونگی با طولL=1.2mL= 1.2 \ mL=1.2mبه مکانی در سیاره‌ای دیگر منتقل می‌شود که در آن شتاب گرانش دو برابر شتاب گرانشی زمین است (gP=2gEg_P = 2 g_EgP​=2gE​). دوره تناوب این آونگ در سیاره جدید در مقایسه با دوره تناوب آن روی زمین چگونه خواهد بود؟

گفتیم دوره تناوب آونگ ساده از فرمولT=2πLgT = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}T=2πgL​​به دست می‌آید. برای مقایسه دوره تناوب دو آونگ موردنظر در سوال نسبت‌ها را به شکل زیر می‌نویسیم:

TPTE=2πLgP2πLgE\frac{T_P}{T_E} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_P}}}{2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_E}}}TE​TP​​=2πgE​L​​2πgP​L​​​

با توجه به انیکه طول آونگ تغییری نمی‌کند، با ساده کردن روابط خواهیم داشت:

TPTE=1gP1gE\frac{T_P}{T_E} = \frac{ \sqrt{\frac{1}{g_P}}}{ \sqrt{\frac{1}{g_E}}}TE​TP​​=gE​1​​gP​1​​​

TPTE=gEgP\frac{T_P}{T_E} = \sqrt{\frac{g_E}{g_P}}TE​TP​​=gP​gE​​​

TPTE=gE2gE\frac{T_P}{T_E} = \sqrt{\frac{g_E}{2 g_E}}TE​TP​​=2gE​gE​​​

TPTE=12\frac{T_P}{T_E} = \sqrt{\frac{1}{2}}TE​TP​​=21​​

TP=12TET_P = \sqrt{\frac{1}{2}} \ T_ETP​=21​​TE​

مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور – درس، تمرین، حل مثال و تستمجموعه آموزش فیزیک – از دروس دانشگاهی تا کاربردیآموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیکپراش چیست؟ – به زبان سادهبهترین روش مطالعه فیزیک چیست؟ – ۱۶ روش از مطالعه مفهومی تا حل مثال

این آموزش توسط تیم تخصصی گسترش اندیشه پویا (GAP) گردآوری و ویرایش شده است. برای مشاوره و خدمات تخصصی در این حوزه با ما در ارتباط باشید.