تیم توسعه و آموزش گسترش اندیشه پویا (GAP) در این آموزش، این مفهوم را تشریح میکند:
کتاب ریاضی هشتم شامل ۹ فصل است و مباحث متنوعی ازدرس ریاضیمانند اعداد صحیح و گویا، اعداد اول، چندضلعیها، جبر و معادله، بردار و مختصات، مثلث، توان و جذر، آمار و احتمال و دایره را پوشش میدهد. در این مطلب از مجله پس از مرور تعریفها، فرمولها و نکات مهم هر فصل، به حل نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب خواهیم پرداخت.
- مجموعه اعداد صحیح و گویا را خواهید شناخت.یاد میگیرید اعداد اول و مرکب چه تفاوتی با هم دارند.انواع چندضلعیها و ویژگیهای هر کدام را میآموزید.با ساده کردن عبارتهای جبری آشنا میشوید.انواع روشهای همنهشتی مثلثها را میآموزید.با حل مثال یاد میگیرید که چگونه احتمال را بهدست آورید.
سرفصل های ریاضی هشتم
ابتدا مروری داریم بر مهمترین مباحثی که در کتاب ریاضی هشتم مطرح شده است:
- فصل ۱: عددهای صحیح و گویافصل ۲: عددهای اولفصل ۳: چندضلعیهافصل ۴: جبر و معادلهفصل ۵: بردار و مختصاتفصل ۶: مثلثفصل ۷: توان و جذرفصل ۸: آمار و احتمالفصل ۹: دایره
در ادامه ابتدا به معرفی نکات مهم هر فصل میپردازیم و سپس چندین نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب را برای هر فصل حل خواهیم کرد.
پیش از اینکه به بررسی توضیحات و نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای هر فصل بپردازیم، در این بخش با استفاده از فلشکارتهای زیر میتوانید مروری داشته باشید بر مهمترین نکات و فرمولهای این کتاب. با کلیک دوم روی هر فلشکارت، محتوای پشت آن قابلمشاهده است:
مجموعه اعداد صحیحکه باZ\mathbb{Z}Zنمایش داده میشوند، مجموعهای است شامل اعداد مثبت، صفر و اعداد منفی:
Z={...,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,...}\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,...\}Z={...,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,...}
همانطور که در شکل بالا مشاهده میکنید، اعداد مثبت یا اعدادی که در سمت راست این محور قرار میگیرند، همواره از اعداد سمت چپ یا اعداد منفی و صفر، بزرگتر هستند. مکان قرارگیری عدد صفر «مبدا محور» نامیده میشود. اعداد منفی همگی در سمت چپ صفر قرار میگیرند. نکته مهمی که در تشخیص اعداد صحیح باید در نظر گرفته شود این است که اعداد کسری و اعداد اعشاری جزء اعداد صحیح نیستند. پس مجموعه اعداد صحیح شامل سه گروه اعداد زیر میشوند:
- اعداد مثبت یا1,2,3,4,...1,2,3,4, ...1,2,3,4,...(مجموعه اعداد طبیعی)اعداد منفی یا−1,−2,−3,...-1,-2,-3,...−1,−2,−3,...عدد صفر (که نه یک عدد مثبت است و نه یک عدد منفی)
مجموعه اعداد گویابه کلیه اعداد کسری گفته میشود که در حالت کلی با تقسیم یک عدد صحیح بر عدد صحیح دیگر تولید میشوند، با این شرط که مخرج نباید صفر شود. در واقع هر عددی که بتوان آن را به صورت کسرab\frac{a}{b}baنوشت، طوری که اعدادaaaوbbbاعداد صحیح باشند وb≠0b \neq 0b=0باشد، یک عدد گویا است.این مجموعه باQ\mathbb{Q}Qنمایش داده میشود:
Q={ab∣a,b∈Z,b≠0}\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z} , b \neq 0\}Q={ba∣a,b∈Z,b=0}
برای مثال،12\frac{1}{2}21یک عدد گویا است و بهصورت «یک دوم» خوانده میشود. همچنین اعدادی مانند000و565656هم اعداد گویا محسوب میشوند، چون میتوانیم این اعداد را به شکل01=0\frac{0}{1}=010=0و561=56\frac{56}{1}=56156=56بنویسیم. شکلهای زیر بهخوبی تفاوت اعداد صحیح و گویا را نشان میدهند.000و111دو عدد صحیح روی محور اعداد هستند که بین آنها هیچ عدد صحیح دیگری وجود ندارد:
اما اگر بخواهیم تمام اعداد گویا بین این دو عدد صحیح را در نظر بگیریم، بینهایت عدد گویا وجود دارد که در شکل زیر تنها چهار عدد از این تعداد بینهایت روی محور اعداد نمایش داده شده است:
برخی از نکات مهم در مورد مجموعه اعداد صحیح و گویا عبارتاند از:
- اعداد صحیح، اعداد طبیعی و اعداد اعشاری همگی زیرمجموعهای از اعداد گویا هستند.مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعهای از مجموعه اعداد صحیح محسوب میشوند.اعداد صحیح منفیقرینهاعداد صحیح مثبتاند.قرینه هر عدد، علامت آن عدد را تغیر میدهد.قرینه عدد منفی، مثبت و قرینه عدد مثبت، منفی است.حاصلجمع هر عدد با قرینهاش برابر با صفر است (a+(−a)=0a + (-a) = 0a+(−a)=0).برای تشخیص اعداد گویا میتوان از روش هممخرج کردن کسرها استفاده کرد.
در بخشهای بعد با حل نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب، بهتر متوجه این نکات خواهید شد.
جمع و تفریق اعداد گویا
برای اینکه بتوانیم دو عدد گویا یادو کسر را با هم جمعیا از هم کم کنیم، اولین نکته مهم این است که باید مخرجهای دو کسر با هم یکی باشند. برای مثال، در عبارت زیر مخرجها با هم برابر هستند و اگر بخواهیم این تفریق را انجام دهیم، پاسخ شامل مخرجی برابر با مخرج هر یک از دو کسر و صورتی برابر با حاصل تفریق صورتهای دو کسر است:
47−67=4−67=−27\frac{4}{7}-\frac{6}{7}=\frac{4-6}{7}=\frac{-2}{7}74−76=74−6=7−2
اما اگر بخواهیم حاصل عبارت زیر را که مخرجهای مختلفی دارد، بهدست آوریم، چگونه باید عمل کنیم؟
34+12=?\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=?43+21=?
در این موارد که مخرج کسرها با هم برابر نیست، باید مخرج مشترک بگیریم تا مخرجها یکسان شوند. در بخش بعد این روش را توضیح خواهیم داد.
روشپیدا کردن مخرج مشترکبه این صورت است که ابتدا بایدمضربهایهر دو مخرج را لیست کنیم. دقت کنید نیازی نیست تمام مضربهای این دو عدد را بنویسیم و برای مثال، نوشتن چهار یا پنچ مضرب اول کافی است:
34+12=?\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=?43+21=?
4:4,8,12,164:4,8,12,164:4,8,12,16
2:2,4,6,82:2,4,6,82:2,4,6,8
اگر مضربهای این دو مخرج را با هم مقایسه کنیم، مشخص است که اولین مضرب مشترک عدد444است. پس این عدد مخرج مشترک ما در این مثال است. حالا باید ببینیم مخرجها در سوال بالا در چه عددی ضرب شوند تا به مخرج مشترک444برسیم. پس از یافتن این عدد، لازم است صورت و مخرج آن کسر در این عدد ضرب شوند. برای نمونه، مخرج کسر34\frac{3}{4}43باید در111ضرب شود تا به مخرج مشترک444برسیم، پس صورت این کسر هم در111ضرب میشود. به همین ترتیب، در کسر بعدی یعنی12\frac{1}{2}21مخرج باید در222ضرب شود تا به444برسیم، پس صورت این کسر هم در222ضرب میشود:
3×14×1+1×22×2=34+24\frac{3\times1}{4\times1}+\frac{1\times2}{2\times2}=\frac{3}{4}+\frac{2}{4}4×13×1+2×21×2=43+42
حالا به دو کسر با مخرج یکسان رسیدیم. کافی است مخرج مشترک را بهعنوان مخرج پاسخ قرار داده و صورت کسرها را با هم جمع کنیم تا حاصلجمع این دو کسر محاسبه شود:
34+24=2+34=54\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=\frac{2+3}{4}=\frac{5}{4}43+42=42+3=45
ضرب و تقسیم اعداد گویا
حاصلضرب اعداد گویایا ضرب کسرها کسری است که صورت آن برابر است با حاصلضرب صورت کسرها و مخرج آن نیز برابر است با حاصلضرب مخرج کسرها:
ab×cd=a×cb×d\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}ba×dc=b×da×c
طبق این قاعده، حاصلضرب دو کسر611\frac{6}{11}116و−23\frac{-2}{3}3−2میشود:
611×−23=6×(−2)11×3=−1233\frac{6}{11}\times\frac{-2}{3}=\frac{6\times( -2)}{11\times 3}=\frac{-12}{33}116×3−2=11×36×(−2)=33−12
پیدا کردنحاصل تقسیم کسرهابا دانستن این نکته که عملیات تقسیم عکس عملیات ضرب است، آسان میشود. کافی است دومین کسر را معکوس کنیم و با تبدیل تقسیم به ضرب، حاصل را محاسبه کنیم. معکوس کردن یک کسر به معنای جابجایی صورت و مخرج آن است. در حالت کلی اگر دو کسر بهصورتab\frac{a}{b}baوcd\frac{c}{d}dcداشته باشیم، تقسیم آنها به شکل زیر انجام میشود:
ab÷cd=ab×(cd)−1=ab×dc=a×db×c\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times( \frac{c}{d})^{-1} =\frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}ba÷dc=ba×(dc)−1=ba×cd=b×ca×d
عدد مخلوط و تبدیل آن به کسر
میتوانیم اعداد گویا یا کسرها را در قالب یکعدد مخلوطنمایش دهیم. عدد مخلوط عددی است که شامل یک عدد کامل مانند111یا333یا666و... میشود که در کنار یک جزء کسری قرار گرفته است. برای مثال، فرض کنید یک پیتزای کامل به همراه پیتزای دیگری که یک اسلایس از آن کم شده است، در اختیار دارید. عدد مخلوط معادل با این دو پیتزا به شکل زیر است:
این عدد بهصورت «یک و سه چهارم» خوانده میشود. اگر بخواهیممعادل کسری این عدد مخلوطرا بنویسیم، به شکل زیر پیش میرویم:
134=44+34=741\frac{3}{4} = \frac{4}{4} +\frac{3}{4} =\frac{7}{4}143=44+43=47
دقت کنید بهجای عدد کامل111از کسر44\frac{4}{4}44استفاده کردیم. عکس فرآیند بالا، یعنیتبدیل کسر به عدد مخلوطنیز امکانپذیر است. اگر صورت کسری از مخرج آن بزرگتر باشد، میتوانیم آن کسر را به عدد مخلوط تبدیل کنیم. کافی است ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم کنیم. خارج قسمت این تقسیم برابر است با عدد کامل در عدد مخلوط و باقیمانده این تقسیم برابر است با صورت بخش کسری در عدد مخلوط. مخرج کسر در عدد مخلوط نیز همان مخرج کسر داده شده است.
نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل اول
پیش از اینکه به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای این فصل بپردازیم، پیشنهاد میکنیم مهمترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:
حاصل عبارت زیر را به دست آورید:
A=−15+(−8)×(−3)−(−12)÷(+4)A = -15 + (-8) \times (-3) - (-12) \div (+4)A=−15+(−8)×(−3)−(−12)÷(+4)
طبق اولویتهای ریاضی، ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق را انجام میدهیم. برای انجام ضرب به شکل زیر عمل میکنیم:
(−8)×(−3)=+24(-8) \times (-3) = +24(−8)×(−3)=+24
حالا به انجام تقسیم میپردازیم:
(−12)÷(+4)=−3(-12) \div (+4) = -3(−12)÷(+4)=−3
با جایگذاری در عبارت اصلی داریم:
A=−15+24−(−3)A = -15 + 24 - (-3)A=−15+24−(−3)
A=−15+24+3=+12A = -15 + 24 + 3 = +12A=−15+24+3=+12
حاصل کسر مرکب زیر را به سادهترین صورت ممکن بنویسید:
B=1−2345÷(−215)B = \frac{1 - \frac{2}{3}}{\frac{4}{5} \div \left(-\frac{2}{15}\right)}B=54÷(−152)1−32
ابتدا صورت و مخرج را بهصورت جداگانه محاسبه میکنیم. صورت به شکل زیر ساده میشود:
1−23=33−23=131 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}1−32=33−32=31
مخرج نیز بهصورت زیر میشود:
45÷(−215)=45×(−152)=−6010=−6\frac{4}{5} \div \left(-\frac{2}{15}\right) = \frac{4}{5} \times \left(-\frac{15}{2}\right) = -\frac{60}{10} = -654÷(−152)=54×(−215)=−1060=−6
B=13−6=13÷(−6)=13×(−16)=−118B = \frac{\frac{1}{3}}{-6} = \frac{1}{3} \div (-6) = \frac{1}{3} \times \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{18}B=−631=31÷(−6)=31×(−61)=−181
دو عدد گویا بین دو کسر12\frac{1}{2}21و23\frac{2}{3}32پیدا کنید:
ابتدا کسرها را هممخرج میکنیم:
12=36\frac{1}{2} = \frac{3}{6}21=63
23=46\frac{2}{3} = \frac{4}{6}32=64
چون بین صورتهای333و444عدد صحیحی وجود ندارد، پس صورت و مخرج هر دو کسر را در333ضرب میکنیم تا فضا بازتر شود:
3×36×3=918\frac{3 \times 3}{6 \times 3} = \frac{9}{18}6×33×3=189
4×36×3=1218\frac{4 \times 3}{6 \times 3} = \frac{12}{18}6×34×3=1812
حالا میتوانیم اعدادی بین918\frac{9}{18}189و1218\frac{12}{18}1812انتخاب کنیم:
دو عدد دلخواه:1018و1118\text{دو عدد دلخواه}: \frac{10}{18} \text{ و } \frac{11}{18}دوعدددلخواه:1810و1811
معکوس قرینه عدد−234-2\frac{3}{4}−243را بهدست آورید:
برای پاسخ دادن به این نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب، ابتدا عدد مخلوط را به کسر تبدیل میکنیم:
−234=−2×4+34=−114-2\frac{3}{4} = -\frac{2 \times 4 + 3}{4} = -\frac{11}{4}−243=−42×4+3=−411
در گام بعدی قرینه این عدد را مییابیم (تغییر علامت):
قرینه(−114)=+114\text{قرینه} \left(-\frac{11}{4}\right) = +\frac{11}{4}قرینه(−411)=+411
در نهایت معکوس عدد بهدست آمده را مینویسیم (جابجایی صورت و مخرج):
معکوس(+114)=+411\text{معکوس} \left(+\frac{11}{4}\right) = +\frac{4}{11}معکوس(+411)=+114
یادگیری دروس پایه هشتم با
پس از اینکه به بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای فصل اول پرداختیم، در این بخش مروری داریم بر مهمترین فیلمهای آموزشی در زمینه دروس پایه هشتم:
- فیلم آموزش علوم تجربی پایه هشتم – بخش فیزیک فرادرسفیلم آموزش علوم تجربی پایه هشتم – بخش شیمی فرادرس
در فصل دوم این مطلب به بررسی اعداد اول، اعداد مرکب و تعیین اول یا مرکب بودن اعداد میپردازیم و سپس نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب را برای این مباحث حل میکنیم. هر عدد طبیعی بزرگتر از111که فقط دو مقسومعلیه یا شمارنده مثبت داشته باشد (خودش و عدد111)، عدد اول نامیده میشود. مجموعه اعداد اول کوچکتر از202020عبارتاند از:
{2,3,5,7,11,13,17,19}\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}{2,3,5,7,11,13,17,19}
همچنین شمارندههای یک عدد، مجموعهای از اعداد هستند که با ضرب برخی از آنها در یکدیگر، عدد موردنظر بهدست میآید. برای مثال تنها شمارندههای عدد777عبارتاند از111و777، چون داریم1×7=71\times7 = 71×7=7. اما برای عددی مانند666، علاوهبر111و666، شمارندههایی مانند222و333هم داریم، چون2×3=62\times3 = 62×3=6.
تعیین تمام شمارندههای یک عدد راتجزیه کردن عددمینامند. برای مثال،555یکی از شمارندههای252525است، در نتیجه252525بر555بخشپذیر است. بخشپذیری به این معنا است که باقیمانده تقسیم عدد موردنظر به هر کدام از شمارندههای آن برابر است با صفر. پس در واقع ما عدد موردنظر خود را بر شمارنده تقسیم میکنیم و شمارنده همان مقسومعلیه در این تقسیم است. در مقابلعدد مرکببه هر عدد طبیعی بزرگتر از111که بیش از دو مقسومعلیه داشته باشد، گفته میشود.
نکات مهم این فصل در ادامه فهرست شده است:
- عدد111نه عدد اول است و نه عدد مرکب.هر عدد طبیعی و بزرگتر از یک که فقط دو شمارنده111و خودش را داشته باشد، عدد اول است.عدد اول همیشه از یک بزرگتر است.اگر شمارندههای یک عدد را تعیین کرده باشیم، آن عدد حتما بر تک تک این شمارندهها بخشپذیر است.اگر دو عدد مرکب هیچ فاکتور مشترکی جز عدد111نداشته باشند، در این صورت میگوییم این دو عدد نسبت به هم اول هستند.اگر بخواهیم بدانیم از111تا یک عدد مشخص چند عدد اول داریم، میتوانیم از روشغربال کردن اعداد اولاستفاده کنیم.عدد222تنها عدد اول زوج است، تمام اعداد زوج دیگر مرکب هستند.
نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل دوم
در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای فصل دوم میپردازیم. در همین راستا، اگر میخواهید جمعبندی کاملی از مباحث ریاضی هشتم داشته باشید، پیشنهاد میکنیم مطلب «فرمول های ریاضی هشتم در یک نگاه و با مثال» از مجله را مطالعه کنید.
مشخص کنید آیا عدد919191اول است یا مرکب؟
ابتدا جذر تقریبی عدد919191را محاسبه میکنیم:
91≈9.5\sqrt{91} \approx 9.591≈9.5
در گام بعدی، میدانیم اعداد اول کوچکتر از9.59.59.5عبارتاند از:
2,3,5,72, 3, 5, 72,3,5,7
حالا بخشپذیری919191را بر این اعداد بررسی میکنیم:
- بر222بخشپذیر نیست (چون یکان آن فرد است).بر333بخشپذیر نیست (چون مجموع ارقام9+1=109 + 1 = 109+1=10است).بر555بخشپذیر نیست (یکان آن000یا555نیست).
در نهایت اگر بر777تقسیم کنیم:
91÷7=1391 \div 7 = 1391÷7=13
بخشپذیر میشود. چون919191بر777بخشپذیر است، پس بیش از دو شمارنده دارد. بنابراین یک عدد مرکب است.
در روش غربال برای تعیین اعداد اول از111تا120120120، آخرین عددی که مضربهای آن خط میخورند کدام است؟
برای تعیین اعداد اول تا120120120، ابتدا جذر تقریبی120120120را میگیریم:
120≈10.9\sqrt{120} \approx 10.9120≈10.9
اعداد اول کوچکتر از10.910.910.9عبارتاند از:
2,3,5,72, 3, 5, 72,3,5,7
بنابراین آخرین عدد اولی که مضربهای آن را خط میزنیم عدد777است. مضربهای عدد اول بعدی یعنی111111چون112=121>12011^2 = 121 > 120112=121>120است، قبلا خط خوردهاند یا نیازی به خط زدن ندارند.
آیا دو عدد151515و282828نسبت به هم متباین هستند؟ چرا؟
ابتدا شمارندههای هر دو عدد را مینویسیم:
{1,3,5,15}\{1, 3, 5, 15\}{1,3,5,15}
{1,2,4,7,14,28}\{1, 2, 4, 7, 14, 28\}{1,2,4,7,14,28}
بزرگترین مقسومعلیه مشترک این دو عدد برابر است با:
(15,28)=1(15, 28) = 1(15,28)=1
چون ب.م.م این دو عدد برابر با111است، بنابراین این دو عدد نسبت به هم متباین یا اول هستند.
به تمام اشکال هندسی دو بعدی که از خطوط مستقیم و راست (نه خمیده) تشکیل شده و بهصورت یک شکل هندسی بستهاند،چندضلعیگفته میشود. برای مثال، مربع یک چندضلعی است، چون یک شکل هندسی دو بعدی است، دارای اضلاعی بهصورت خط راست است و تمام این اضلاع توسط زاویههایی به هم وصل شدهاند. اما دایره با اینکه یک شکل هندسی دو بعدی است، اما چندضلعی محسوب نمیشود، چون خمیده است و ضلع ندارد.
چندضلعیها با توجه به اندازه اضلاع و زاویههای خود به دو گروه تقسیم میشوند:
- چندضلعی منتظم: تمام اضلاع و زاویههای آن با هم برابر هستند.چندضلعی نامنتظم: اضلاع و زاویههای آن با هم برابر نیستند.
چندضلعیها انواع مختلفی دارند، سهضلعیها یا مثلثها، چهارضلعیها که در بخش بعد توضیح داده میشوند،پنجضلعیها،ششضلعیهاو به همین ترتیب. در جدول زیر ویژگیهای چندضلعیهای مختلف از جمله منتظم یا نامنتظم بودن، تعداد اضلاع ومجموع زاویههای داخلینشان داده شده است:
چهارضلعییک شکل هندسی بسته است که فقط و فقط دارای چهار ضلع، چهار راس و چهار زاویه است. این چهار ضلع چهار نقطه را در این نوع اشکال هندسی به هم متصل میکنند. اغلب برای نشان دادن یک چهار ضلعی به شکل زیر میتوانیم از نامهایی بهصورتABCDABCDABCDیاBCDABCDABCDAیاADCBADCBADCBیاDCBADCBADCBAاستفاده کنیم. اما برای مثال،ACBDACBDACBDانتخاب درستی نیست، چون این نوع نامگذاری با ترتیب رئوس این چهارضلعی همخوانی ندارد.
نکات مهم در مورد چهارضلعیها شامل موارد زیر هستند:
- مجموع زاویههای داخلی این اشکال هندسی برابر با360360360درجه است.تمام چهارضلعیها دارای چهار ضلع، چهار راس و چهار زاویه اند.تمام چهارضلعیها دارای دو قطر هستند.درمربعهر چهار ضلع و هر چهار زاویه با هم برابر هستند.مستطیلیک چهارضلعی منتظم نیست اما مربع یک چهارضلعی منتظم است.قطرهای مستطیلبر هم عمود نیستند.درمتوازیالاضلاعزاویه قائمه نداریم.دو قطر مربعبا هم مساوی و بر هم عموداند که این زاویه قائمه در شکل زیر مشخص شده است:
در بخش قبل اشاره کردیم که برای مثال مجموع زاویههای داخلی یک چهارضلعی برابر است با360360360درجه. در تصویر زیر یک پنجضلعی منتظم را مشاهده میکنید کهزاویههای داخلیآن با رنگ قرمز وزاویههای خارجیآن با رنگ آبی نمایش داده شده است. زاویه خارجی به زاویهای گفته میشود که از امتداد هر ضلع از یک چندضلعی بهدست میآید. در حقیقت زاویه خارجی زاویهای است که بین امتداد یک ضلع و ضلع مجاور در یک چندضلعی ایجاد میشود.
مجموع زاویههای خارجی هر چندضلعی همواره برابر است با360360360درجه. زاویه داخلی زاویهای است که بین دو ضلع یک شکل هندسی ایجاد میشود، در حالی که زاویه خارجی زاویهای است که بین امتداد یکی از اضلاع و ضلع دیگر ایجاد میشود.
قضیه زاویه خارجی بیان میکند اندازه هز زاویه خارجی در یک مثلث برابر است با مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاور به آن زاویه خارجی. با توجه به اینکه میدانیم هر مثلث دارای سه زاویه داخلی است که مجموع این زوایا برابر است با180180180درجه، در نتیجه شش زاویه خارجی برای هر مثلث خواهیم داشت که از امتداد هر کدام از اضلاع در هر راس ناشی میشوند. این قضیه برای هر کدام از این شش زاویه خارجی صادق است:
نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل سوم
در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای سومین فصل میپردازیم. پیش از شروع میتوانید مهمترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:
همچنین پیشنهاد میکنیم برای درک بهتر موضوعخطوط موازیو مورب،فیلم آموزش رایگان خطوط موازی و مورب ریاضی (هشتم) + مثالرا مشاهده کنید.
مجموع زوایای داخلی یک101010ضلعی مقعر یا محدب چند درجه است؟
از فرمول مجموع زوایای داخلی استفاده میکنیم:
=(n−2)×180= (n - 2) \times 180=(n−2)×180
تعداد اضلاعn=10n = 10n=10است. پس داریم:
=(10−2)×180=8×180=1440= (10 - 2) \times 180 = 8 \times 180 = 1440=(10−2)×180=8×180=1440
اندازه هر زاویه داخلی و هر زاویه خارجی یک ششضلعی منتظم را بهدست آورید:
ابتدا زاویه خارجی را بهدست میآوریم که راحتتر است:
=3606=60= \frac{360}{6} = 60=6360=60
از آنجا که زاویه داخلی و خارجی مکمل یکدیگر هستند، یعنی مجموعشان برابر با180180180درجه میشود. پس داریم:
=180−60=120= 180 - 60 = 120=180−60=120
اگر مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی108010801080درجه باشد، این چندضلعی چند ضلع دارد؟
ابتدا فرمول مجموع زوایا را مساوی108010801080قرار میدهیم:
(n−2)×180=1080(n - 2) \times 180 = 1080(n−2)×180=1080
حالا طرفین را بر180180180تقسیم میکنیم:
n−2=1080180=6n - 2 = \frac{1080}{180} = 6n−2=1801080=6
عدد−2-2−2را به طرف دیگر معادله میبریم:
n=6+2=8n = 6 + 2 = 8n=6+2=8
پس این چندضلعی888ضلع دارد یا هشتضلعی است.
در یک لوزی اندازه قطر کوچک666و اندازه قطر بزرگ888سانتیمتر است. مساحت و ویژگی قطرهای این لوزی چیست؟
در لوزی قطرها بر هم عموداند و یکدیگر را نصف میکنند. فرمول مساحت لوزی نیز برابر است با حاصلضرب قطرها تقسیم بر222که با جایگذاری میشود:
=8×62=482=24= \frac{8 \times 6}{2} = \frac{48}{2} = 24=28×6=248=24
پس مساحت این لوزی برابر با242424سانتیمتر مربع است.
در یک متوازیالاضلاع اگر اندازه یکی از زوایا505050درجه باشد، اندازه سه زاویه دیگر را مشخص کنید:
در متوازیالاضلاع دو ویژگی مهم درباره زوایا داریم:
- زوایای روبرو با هم برابراند.زوایای مجاور یا کنار هم با هم مکملاند، یعنی مجموعشان برابر با180180180درجه است.
زاویه روبرو برابر است با505050درجه. پس زاویه مجاور میشود:
180−50=130180 - 50 = 130180−50=130
زاویه روبرو به زاویه مجاور نیز برابر است با130130130درجه. بنابراین سه زاویه دیگر505050و130130130و130130130درجه هستند.
معادله در ریاضیاتبه معنای برابری دوعبارت جبریاست. عبارت جبری به مجموعهای از جملات گفته میشود که با علامتهای جمع یا تفریق به هم مربوط شدهاند. برای مثال،4x+5y−104x+5y-104x+5y−10و−3y-3y−3yنمونههایی از عبارت جبری هستند. بنابراین منظور ما از جملات در عبارت جبری، هر بخشی است که توسط علامت جمع یا تفریق به دیگری مرتبط شده است. همچنینx,yx ,yx,yدر عبارتهای جبری بالا متغیر هستند. هر کمیتی که مقدار عددی آن مشخص نباشد، توسط یک حرف انگلیسی نشان داده میشود و متغیر نام دارد.
هر معادله توصیف کننده تساوی بین دو عبارت جبری است که در دو طرف علامت تساوی یا===نوشته شدهاند. حل کردن معادله، به معنای پیدا کردن مقدار عددی متغیری است که در آن معادله وجود دارد. اولین قدم برای حل معادله این است که معادله را تشخیص دهید. در این زمینه، به جدول زیر دقت کنید:
همانطور که ملاحظه میکنید، دومین ردیف جدول بالا یک معادله نیست. چون در آن علامت تساوی بین دو عبارت جبری دیده نمیشود. اما ردیف سوم یک معادله است، با اینکه در آن هیچ متغیری دیده نمیشود، اما برابری دو طرف درست است. پس شرط داشتن معادله این است که بین دو عبارت جبری شامل اعداد بهتنهایی یا اعداد و متغیرها، حتما علامت تساوی داشته باشیم.
دقت کنید با توجه به درجه یا توان متغیرهایی که در عبارتهای جبری یک معادله دیده میشوند، میتوانیم انواع معادلات را بهصورت زیر دستهبندی کنیم:
- معادلات خطیمعادلات درجه دومعادلات درجه سه
دستهبندی و تشخیص نوع معادلات از این جهت اهمیت دارد که روش حل انواع معادلات با هم متفاوت است. در نتیجه، میتوانیم روش درست حل هر معادله را بهراحتی انتخاب کنیم.
تجزیه عبارت های جبری
فرآیند ساده کردن یاتجزیه عبارتهای جبریبه معنای بازنویسی این عبارتها است، طوری که در نهایت هیچ جمله مشابهی وجود نداشته باشد و توانسته باشیم عبارت جبری اولیه را کوتاهتر کرده باشیم. روشهای مختلفی برای تجزیه عبارتهای جبری وجود دارد، اما به طور کلی با رعایت مراحل زیر میتوانیم تجزیه عبارتهای جبری را بهتر انجام دهیم:
- ابتدا جملات داخل پرانتز را با جمع یا تفریق کردن جملات مشابه ساده کنید.سپس عوامل خارج از پرانتز را که در آن ضرب شدهاند، در تک تک جملات داخل پرانتز ضرب کنید.
نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل چهارم
در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای چهارمین فصل میپردازیم. پیش از شروع میتوانید مهمترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:
عبارت جبری زیر را تا حد امکان ساده کنید:
A=3x−5y+2(2x+3y)−4xA = 3x - 5y + 2(2x + 3y) - 4xA=3x−5y+2(2x+3y)−4x
ابتدا پرانتز را با ضرب عدد222در جملات داخل آن باز میکنیم:
2(2x+3y)=4x+6y2(2x + 3y) = 4x + 6y2(2x+3y)=4x+6y
سپس جایگذاری در عبارت اصلی را داریم:
A=3x−5y+4x+6y−4xA = 3x - 5y + 4x + 6y - 4xA=3x−5y+4x+6y−4x
حالا جملات متشابه را کنار هم قرار داده و ساده میکنیم:
A=(3x+4x−4x)+(−5y+6y)A = (3x + 4x - 4x) + (-5y + 6y)A=(3x+4x−4x)+(−5y+6y)
A=3x+yA = 3x + yA=3x+y
حاصلضرب زیر را به دست آورید و ساده کنید:
B=(2a−3)(a+4)B = (2a - 3)(a + 4)B=(2a−3)(a+4)
هر جمله از پرانتز اول را در دو جمله پرانتز دوم ضرب میکنیم:
B=2a×a+2a×4−3×a−3×4B = 2a \times a + 2a \times 4 - 3 \times a - 3 \times 4B=2a×a+2a×4−3×a−3×4
B=2a2+8a−3a−12B = 2a^2 + 8a - 3a - 12B=2a2+8a−3a−12
حالا جملات متشابه (8a8a8aو−3a-3a−3a) را با هم ترکیب میکنیم:
B=2a2+5a−12B = 2a^2 + 5a - 12B=2a2+5a−12
عبارت12x2y−18xy212x^2y - 18xy^212x2y−18xy2را تجزیه کنید:
ابتدا ب.م.م ضریبهای اعداد121212و181818را پیدا میکنیم:
(12,18)=6(12, 18) = 6(12,18)=6
سپس متغیرهای مشترک با کمترین توان را انتخاب میکنیم. در موردx2x^2x2وxxx، کمترین توانxxxاست. در موردyyyوy2y^2y2، کمترین توانyyyاست. بنابراین بخش فاکتور مشترک برابر است با6xy6xy6xy. حالا هر جمله را بر6xy6xy6xyتقسیم میکنیم و پاسخ را در پرانتز قرار میدهیم:
12x2y6xy=2x\frac{12x^2y}{6xy} = 2x6xy12x2y=2x
18xy26xy=3y\frac{18xy^2}{6xy} = 3y6xy18xy2=3y
نتیجه نهایی فاکتورگیری به شکل زیر است:
12x2y−18xy2=6xy(2x−3y)12x^2y - 18xy^2 = 6xy(2x - 3y)12x2y−18xy2=6xy(2x−3y)
بردار پارهخط جهتداری است که علاوه بر اندازه، دارای جهت مشخصی است. بنابراین زمانی از بردار استفاده میکنیم که علاوهبر اندازه یا فاصله، جهت هم برای ما مهم است. برداری که نقطهAAAرا به نقطهBBBوصل میکند، بردارAB⃗\vec{AB}ABنامیده میشود. بردارهای قرینه، اندازهای برابر ولی جهتهای مخالف هم دارند، در حالی که بردارهای مساوی، هم اندازه و هم جهت کاملا یکسانی دارند. هر بردار از سه بخش تشکیل شده است:
- ابتدای برداراندازه بردارانتها یا جهت بردار
محورهای مختصات محورهایی هستند که یک صفحه را به چهار ناحیه مساوی تقسیم میکنند. این محورها متشکلاند از محور افقی (محورxxx) و محور قائم (محورyyy) که با زاویه قائمه یکدیگر را در نقطهای به نام مبدا مختصات قطع کردهاند. تصویر زیر بخشهای مختلف یک صفحه مختصات و چهار ناحیه آن را نشان میدهد:
به این ترتیب هر نقطه در این صفحه دارای یک مختصات مشخص است که برای نشان دادن آن از نمادی بهصورت[ab]\begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}[ab]استفاده میشود. در این نمادگذاری،aaaبیانگر این است که نقطه موردنظر ما چقدر نسبت به مبدا روی محور افقی جابجا شده است، در حالی کهbbbجابجایی این نقطه نسبت به مبدا در راستای محور قائم را نشان میدهد. برای تعیین مختصات یک نقطه، ابتدا باید ببینیم این نقطه در کدام ناحیه ازصفحه مختصاتقرار دارد.
ویژگیهای چهار ناحیه صفحه مختصات عبارتاند از:
- ناحیه اول:هم مقادیرxxxو هم مقادیرyyyمثبتاند.ناحیه دوم:مقادیرxxxمنفی و مقادیرyyyمثبتاند.ناحیه سوم:هم مقادیرxxxو هم مقادیرyyyمنفیاند.ناحیه چهارم:مقادیرxxxمثبت و مقادیرyyyمنفیاند.
برای اینکه بتوانیم دو بردار را با هم جمع کنیم، کافی است مختصات هر بردار را بدانیم. فرض کنیدA⃗=[ab]\vec{A} = \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}A=[ab]وB⃗=[cd]\vec{B} = \begin{bmatrix} c \\ d\end{bmatrix}B=[cd]است. در این صورتمجموع این دو برداربهصورت زیر خواهد شد:
A⃗+B⃗=[ab]+[cd]=[a+cb+d]\vec{A} + \vec{B}= \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} c \\ d\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a+c \\ b+d\end{bmatrix}A+B=[ab]+[cd]=[a+cb+d]
همچنین اگر عدد صحیحی مانندkkkدر بردار[ab]\ \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}[ab]ضرب شود، در حقیقت این عدد در هر کدام از مولفههای مختصات این بردار ضرب میشود و خواهیم داشت:
k[ab]=[kakb]k\ \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}=\ \begin{bmatrix} ka \\ kb\end{bmatrix}k[ab]=[kakb]
یکی از بهترین روشهای نمایش مختصات بردارها این است که ازبردارهای یکه یا بردارهای واحداستفاده کنیم. بردار یکه برداری است با اندازهای برابر با یک یا واحد و همواره دارای جهت مشخصی در راستای یکی از محورهای مختصات است. برای اینکه بین بردار معمولی و بردار یکه تمایز قائل شویم، بردار یکهaaaرا با نمادa^\hat{a}a^نشان میدهیم، در حالی که بردارaaaمعمولی باa⃗\vec{a}aنشان داده میشود.
برای اینکه نمایش بردارها با استفاده از بردارهای یکه راحتتر شود، بهتر است برای هر محور مختصات در صفحه یک بردار یکه تعریف کنیم. اگر فضای مختصات را یک فضای سه بعدی در نظر بگیریم، در این صورت هر بردار حداکثر دارای سه مولفه یا مختصه میتواند باشد که هر کدام در راستای یکی از سه محور مختصات قرار دارند. قبلا با دو محور مختصات یعنی محورxxxوyyyآشنا شدیم. در این بخش محور سومی به نام محورzzzرا نیز در نظر میگیریم تا یک فضای سه بعدی داشته باشیم. جدول زیر ویژگیهای بردارهای یکه را برای محورهای مختصات نشان میدهد:
به این ترتیب بردارA⃗=[abc]\vec{A} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c\end{bmatrix}A=abcرا میتوانیم به شکل زیر در قالب بردارهای یکه نمایش دهیم:
A⃗=ai^+bj^+ck^\vec{A} = a \hat i + b\hat j + c \hat kA=ai^+bj^+ck^
نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل پنجم
در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای این فصل میپردازیم. پیش از شروع میتوانید مهمترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:
نقاطA=[2−3]A = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}A=[2−3]وB=[−14]B = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix}B=[−14]داده شدهاند. مختصات بردارAB⃗\vec{AB}ABرا به دست آورید:
برای یافتن مختصات بردارAB⃗\vec{AB}AB، مختصات نقطه ابتدا (AAA) را از نقطه انتها (BBB) کم میکنیم:
AB⃗=B−A\vec{AB} = B - AAB=B−A
AB⃗=[−14]−[2−3]=[−1−24−(−3)]=[−37]\vec{AB} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 - 2 \\ 4 - (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \end{bmatrix}AB=[−14]−[2−3]=[−1−24−(−3)]=[−37]
پس مختصات این بردار برابر است با:
[−37]\begin{bmatrix} -3 \\ 7 \end{bmatrix}[−37]
اگر ابتدای بردارa⃗=[4−2]\vec{a} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix}a=[4−2]نقطهA=[−15]A = \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \end{bmatrix}A=[−15]باشد، مختصات نقطه انتهای آن را بهدست آورید:
میدانیمa⃗=B−A\vec{a} = B - Aa=B−Aاست، بنابراینB=A+a⃗B = A + \vec{a}B=A+aخواهد بود:
B=[−15]+[4−2]=[−1+45+(−2)]=[33]B = \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 4 \\ 5 + (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}B=[−15]+[4−2]=[−1+45+(−2)]=[33]
پس مختصات نقطه انتها برابر است با:
B=[33]B = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}B=[33]
اگر بردارp⃗=[2x−43y+9]\vec{p} = \begin{bmatrix} 2x - 4 \\ 3y + 9 \end{bmatrix}p=[2x−43y+9]برابر با بردار صفر باشد، مقادیرxxxوyyyرا بهدست آورید:
بردار صفر برابر است با:
[00]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}[00]
پس باید طول و عرض بردارp⃗\vec{p}pرا برابر با صفر قرار دهیم:
2x−4=0⟹2x=4⟹x=22x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 22x−4=0⟹2x=4⟹x=2
3y+9=0⟹3y=−9⟹y=−33y + 9 = 0 \implies 3y = -9 \implies y = -33y+9=0⟹3y=−9⟹y=−3
بنابراین مقادیر مجهول عبارتاند ازx=2x = 2x=2وy=−3y = -3y=−3
مثلثیکی از اشکال هندسی است که از سه زاویه داخلی بسته و سه ضلع تشکیل شده است. در حقیقت، زمانی که سه خط مختلف یکدیگر را در سه نقطه قطع کنند، مثلث ساخته میشود. اگر سه زاویه یا سه راس یک مثلثPPPوQQQوRRRباشند، در این صورت این مثلث را با△PQR\triangle PQR△PQRنشان میدهیم.مجموع زاویههای یک مثلثهمیشه برابر است با180180180درجه.
با توجه به اندازه اضلاع و زاویهها در یک مثلث، سه نوع مثلث خاص داریم:
- مثلث متساویالساقین: اگر دو ضلع و دو زاویه در مثلثی با هم برابر باشند.مثلث متساویالاضلاع: اگر سه ضلع و سه زاویه در مثلثی با هم برابر باشند.مثلث قائمالزاویه: مثلثی که یک زاویه قائمه دارد.
با توجه به اینکه گفتیم مجموع زاویههای داخلی یک مثلث همیشه با180180180درجه برابر است، پس اگر در یک مثلث هر سه زاویه آن با هم برابر باشد، میتوانیم نتیجهگیری کنیم که هر زاویه برابر میشود با1803=60\frac{180}{3}=603180=60درجه. به این ترتیب هر کدام از زاویههای یک مثلث متساویالاضلاع606060درجه است.
همنهشتی به این معنا است که بتوانیم یک شکل هندسی را کاملا بر شکل دیگر منطبق کنیم. برای مثال، اگر بخواهیمهمنهشتی دو مثلثرا بررسی کنیم، باید علاوهبر اضلاع، زاویههای این دو را نیز با هم مقایسه کنیم.
بهطور کلی در هر کدام از سه حالت زیر میتوانیم بگوییم دو مثلث همنهشت محسوب میشوند:
- سه ضلع دو مثلث با هم برابر باشند (ض ض ض).دو ضلع مجاور و زاویه بین این دو ضلع در دو مثلث با هم برابر باشند (ض ز ض).دو زاویه و ضلع بین از هر دو مثلث با هم برابر باشند (ز ض ز).
پس از اینکه توانستیم ثابت کنیم دو مثلث همنهشتاند، این امکان وجود دارد تا بتوانیم سایر بخشهای نامعلوم در مثلثها را بهدست آوریم.
نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل ششم
در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای این فصل میپردازیم. پیش از شروع میتوانید مهمترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:
در یک مثلث، اندازه دو زاویه داخلی برابر با555555و707070درجه است. اندازه زاویه سوم را بهدست آورید:
میدانیم مجموع سه زاویه داخلی هر مثلث برابر با180180180درجه است. پس برای سومین زاویه داریم:
=180∘−(55∘+70∘)= 180^\circ - (55^\circ + 70^\circ)=180∘−(55∘+70∘)
=180∘−125∘=55∘= 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ=180∘−125∘=55∘
اندازه زاویه سوم برابر با555555درجه شد. پس این مثلث متساویالساقین نیز هست.
در یک مثلث متساویالساقین، اگر زاویه پای قاعده برابر با404040درجه باشد، زاویه راس چند درجه است؟
در مثلث متساویالساقین، دو زاویه پای قاعده با هم برابر هستند، پس هر دو404040درجه میشوند.
=40∘+40∘=80∘= 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ=40∘+40∘=80∘
حالا این مقدار را از مجموع کل یعنی180180180درجه کم میکنیم تا زاویه راس بهدست آید:
180∘−80∘=100∘180^\circ - 80^\circ = 100^\circ180∘−80∘=100∘
پس زاویه راس برابر با100100100درجه است.
آیا میتوان مثلثی با اضلاعی به طولهای333و444و888سانتیمتر رسم کرد؟ چرا؟
خیر، نمیتوان چنین مثلثی رسم کرد. طبق نامساوی مثلثی، طول هر ضلع باید از مجموع دو ضلع دیگر کمتر باشد. اگر این مسئله را بررسی کنیم، داریم:
یعنی مجموع دو ضلع کوچکتر، از ضلع سوم کمتر است. پس رسم این مثلث غیرممکن است.
ارتفاع وارد بر قاعده در یک مثلث متساویالساقین چه ویژگیهای مهمی دارد؟
ارتفاع وارد بر قاعده در مثلث متساویالساقین چهار ویژگی مهم دارد:
- بر قاعده عمود است، یعنی با آن زاویه90∘90^\circ90∘میسازد.قاعده را به دو قسمت مساوی تقسیم میکند، یعنی میانه است.زاویه راس را به دو زاویه مساوی تقسیم میکند، پس نیمساز است.بر روی محور تقارن مثلث قرار دارد.
اگر عددی چند بار در خودش ضرب شود، میتوانیم آن را بهصورت یکعدد توانداربنویسم. برای مثال، فرض کنید داریم10×10×10×10×10×10×1010\times10\times10\times10\times10\times10\times1010×10×10×10×10×10×10. در این عبارت عدد101010به اندازه777مرتبه در خودش ضرب شده است. پس نمایش توانی این عبارت بهصورت زیر است که در آن101010پایه و777توان یا نما نامیده میشود:
10×10×10×10×10×10×10=10710\times10\times10\times10\times10\times10\times10=10^710×10×10×10×10×10×10=107
قواعد محاسبات اعداد توان دار
برای اینکه در محاسبات اعداد تواندار بهدرستی عمل کنیم، چند قاعده کوتاه در این بخش معرفی میشود که بهتر است آنها را بهخاطر بسپارید:
- عدد به توان صفر:a0=1a^0= 1a0=1عدد به توان یک:a1=aa^1= aa1=aضرب اعداد با پایههای مساوی: توانها با هم جمع میشوند.تقسیم اعداد با پایههای مساوی: توانها از هم کم میشوند.
عبارتی بهصورت52=255^2 = 2552=25را در نظر بگیرید. در این تساوی،252525توان دوم یا مجذورعدد555و عدد555ریشه دوم یاجذر عدد252525نامیده میشوند. پس به توان دوم هر عدد، مجذور آن عدد و به ریشه دوم هر عدد، جذر آن عدد گفته میشود. نمایش ریشه دوم یک عدد با نمادرادیکال\sqrt{}روی آن مشخص میشود.
گاهی محاسبه جذر یک عدد راحت نیست. اگر مجذور ده عدد اول را بدانیم، میتوانیم بهصورت تقریبی حاصل یک رادیکال را حدس بزنیم. به این روش محاسبه جذر،جذر تقریبیمیگویند. برای مثال،34\sqrt{34}34را نمیتوانیم بهصورت دقیق و بدون کمک گرفتن از ماشین حساب پیدا کنیم. اما میدانیم جذر252525برابر است با555و جذر363636برابر است با666. پس جذر343434هم باید بین جذر این دو عدد قرار بگیرد. در نتیجه34\sqrt{34}34همواره بزرگتر از555و کوچکتر از666است.
نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل هفتم
در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای این فصل میپردازیم. پیش از شروع میتوانید مهمترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:
همچنین در مورد مباحث این فصل پیشنهاد میکنیم مطلب «ساده کردن رادیکال ها – به زبان ساده با مثال و تمرین» از مجله را مطالعه کنید.
حاصل عبارت تواندار زیر را به سادهترین صورت ممکن بنویسید:
A=23×24A = 2^3 \times 2^4A=23×24
چون پایهها مساوی هستند، از قانون ضرب پایههای مساوی استفاده میکنیم، یعنی یک پایه را نوشته و توانها را جمع میکنیم:
A=23+4=27A = 2^{3 + 4} = 2^7A=23+4=27
پس حاصل برابر با272^727یا128128128است.
حاصل عبارت جبری زیر را با اعمال قوانین توان ساده کنید:
C=(x2)3×x4C = (x^2)^3 \times x^4C=(x2)3×x4
ابتدا به محاسبه توان توان میپردازیم:
(x2)3=x2×3=x6(x^2)^3 = x^{2 \times 3} = x^6(x2)3=x2×3=x6
سپس ضرب در عبارت بعدی یعنی جمع توانها را داریم:
C=x6×x4=x6+4=x10C = x^6 \times x^4 = x^{6 + 4} = x^{10}C=x6×x4=x6+4=x10
حاصل جذر زیر را بهدست آورید:
144−81+0.25\sqrt{144} - \sqrt{81} + \sqrt{0.25}144−81+0.25
ابتدا حاصل تکتک رادیکالها را محاسبه میکنیم:
144=12\sqrt{144} = 12144=12
12×12=14412 \times 12 = 14412×12=144
81=9\sqrt{81} = 981=9
9×9=819 \times 9 = 819×9=81
0.25=0.5\sqrt{0.25} = 0.50.25=0.5
0.5×0.5=0.250.5 \times 0.5 = 0.250.5×0.5=0.25
حالا مقادیر را جایگذاری میکنیم:
12−9+0.5=3+0.5=3.512 - 9 + 0.5 = 3 + 0.5 = 3.512−9+0.5=3+0.5=3.5
جذر تقریبی عدد40\sqrt{40}40را تا یک رقم اعشار بهدست آورید:
ابتدا دو مربع کامل مجاور عدد404040را پیدا میکنیم:
36<40<49⟹36<40<49⟹6<40<736 < 40 < 49 \implies \sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49} \implies 6 < \sqrt{40} < 736<40<49⟹36<40<49⟹6<40<7
پس جذر بین666و777است. حالا با حدس و آزمایش پیش میرویم:
6.3×6.3=39.696.3 \times 6.3 = 39.696.3×6.3=39.69
که خیلی نزدیک به404040است.
6.4×6.4=40.966.4 \times 6.4 = 40.966.4×6.4=40.96
که بزرگتر شد. بنابراین جذر تقریبی عدد404040برابر با6.36.36.3است.
یادگیری ریاضیات متوسطه با
در این بخش این مطلب از مجله مروری داریم بر مهمترین فیلمهای آموزشی در زمینه یادگیری و تسلط بیشتر بر ریاضیات متوسطه دوم:
- فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرینفیلم آموزش آمار و احتمال – پایه یازدهم
آمار فرآیند جمعآوری اطلاعات از نمونههای مختلف با هدف سازماندهی، بررسی، مقایسه و انجام تحلیل یا محاسبات آماری مختلف روی آنها است تا بتوان پیشبینی یا تخمین مناسبی در مورد یک موضوع خاص ارائه کرد. در بخش جمعآوری اطلاعات، میتوانیم از روشهای مختلفی مانند جدول یا نمودارهای مناسب برای نشان دادن دادهها استفاده کنیم. بهویژه کاربرد نمودار، در مقایسه اولیه دادهها بسیار کمک کننده است.
اگر میخواهید در زمینه آمار و احتمال یادگیری خود را تکمیل کنید، پیشنهاد ما مشاهدهفیلم آموزش آمار و احتمال – پایه یازدهماست که لینک آن نیز در ادامه برای شما قرار داده شده است:
انواع نمودارهای آماری
در این بخش چند نمودار آماری مهم معرفی میشود:
- نمودار میلهای یا ستونینمودار دایرهای
یکی از بهترین نمودارهایی که برای نشان دادن دادههای آماری میتوان بکار برد، نمودار میلهای است. در این نوع نمودار، دادههای هر بخش در قالب یک میله مستطیل شکل نشان داده میشوند:
نوع دیگری از نمودارهای آماری، نمودار دایرهای است. این نمودار یک دایره است که سهم بخشهای مختلف یک موضوع در آن با رنگهای مختلف از هم تفکیک میشوند. این نمودار به ما کمک میکند سهم موضوعات یا اجزای مختلف را شبیه به مساحت برشهای مختلف یک پای مقایسه کنیم.
اگر تعداد زیادی داده عددی در مورد یک موضوع جمعآوری کرده باشیم، برای اینکه بتوانیم دید آماری دقیق و درستی نسبت به دادههای خود کسب کنیم، یکی از راهها محاسبه چندکمیتهای آماری مهمماننددامنه تغییراتاست. دامنه تغییرات برابر است با اختلاف بین کمترین و بیشترین مقدار داده.
اگر بخواهیم دامنه تغییرات را برای یک مجموعه داده حساب کنیم، اولین قدم این است که دادههای خود را از کوچکترین مقدار تا بزرگترین مقدار بهترتیب مرتب کنیم. سپس با محاسبه اختلاف دو عدد اول و آخر در این لیست، دامنه تغییرات بهدست میآید. اگر دامنه تغییرات عدد بزرگی شود، نشان میدهد تنوع دادههای ما بالا است، در حالی که کوچک بودن دامنه تغییرات به معنای تنوع پایین در دادهها است. مجموعه داده زیر را در نظر بگیرید:
0,1,2,1,0,2,3,1,1,00,1,2,1,0,2,3,1,1,00,1,2,1,0,2,3,1,1,0
برای محاسبه دامنه تغییرات این مجموعه ابتدا دادهها را از کوچک به بزرگ مرتب میکنیم:
0,0,0,1,1,1,1,2,2,30,0,0,1,1,1,1,2,2,30,0,0,1,1,1,1,2,2,3
حالا با کم کردن بیشترین مقدار از کمترین مقدار داده، دامنه تغییرات محاسبه میشود:
یکی دیگر از روشهای بررسی و تحلیل دادههای آماری، محاسبهمیانگین دادههااست. کافی است ابتدا مجموع تمام دادههای عددی را بهدست آوریم. سپس این مجموع را بر تعداد کل دادهها تقسیم کنیم. بنابراین اگر بخواهیم میانگین مجموعه داده بخش قبل راحساب کنیم، به این ترتیب پیش میرویم:
0+1+2+1+0+2+3+1+1+010=1110=1.1\frac{0+1+2+1+0+2+3+1+1+0}{10}=\frac{11}{10}=1.1100+1+2+1+0+2+3+1+1+0=1011=1.1
فراوانی در آماربه این معنا است که هر داده مشخص در یک مجموعه داده چند مرتبه تکرار میشود. اگر مجددا به مجموعه داده0,1,2,1,0,2,3,1,1,00,1,2,1,0,2,3,1,1,00,1,2,1,0,2,3,1,1,0بازگردیم، میتوانیم جدولی بهصورت زیر به نامجدول فراوانیتنظیم کنیم:
مجموع فراوانی دادهها در دومین ستون باید با تعداد کل دادهها برابر شود که همینطور هم هست:
3+4+2+1=103+4+2+1=103+4+2+1=10
در نظریه احتمال شانس وقوع یک پدیده،اتفاق یا پیشامداندازهگیری میشود. برای مثال، پرتاب یک سکه را در نظر بگیرید. در این آزمایش دو پیشامد یا حالت ممکن است داشته باشیم، یا سکه رو میآید و یا زیر. رو یا زیر آمدن سکه در این آزمایش با شانس کاملا برابری اتفاق میافتد. بنابراین میتوانیم بگوییم احتمال رو آمدن سکه برابر است با یک از دو یا12\frac{1}{2}21. همچنین احتمال زیر آمدن سکه هم برابر است با یک از دو یا12\frac{1}{2}21. در واقع این دو حالت یعنی زیر و رو احتمال وقوع برابری دارند.
پس برای اینکه بتوانیم احتمال را محاسبه کنیم، ابتدا لازم است تمام حالتهای ممکن را بشماریم. سپس تعداد حالتهای موردنظر یا مطلوب را از بین این حالتها تعیین میکنیم. تقسیم این دو عدد به ما احتمال را میدهد. احتمال همیشه عددی بین صفر و یک است. اگر احتمال وقوع رخدادی برابر با یک شود، یعنی قطعیت کامل داریم در حالی که اگر احتمال صفر بهدست آوریم، با قطعیت میتوانیم از عدم پیشامد آن اتفاق صحبت کنیم.
نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل هشتم
در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای این فصل میپردازیم. پیش از شروع میتوانید مهمترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:
میانگین پنج عدد برابر با121212است. اگر عدد دیگری به ارزش181818به آنها اضافه شود، میانگین جدید را بهدست آورید:
ابتدا مجموع پنج عدد اولیه را پیدا میکنیم:
5×12=605 \times 12 = 605×12=60
حالا عدد جدید یعنی181818را به مجموع اضافه میکنیم تا مجموع شش عدد بهدست آید:
60+18=7860 + 18 = 7860+18=78
میانگین جدید را محاسبه میکنیم که از تقسیم بر تعداد جدید یعنی666حاصل میشود:
786=13\frac{78}{6} = 13678=13
اگر تاس معمولی را پرتاب کنیم، فضای نمونه چیست و احتمال اینکه عدد ظاهر شده اول باشد، چقدر است؟
فضای نمونهای تاس (SSS) شامل اعداد یک تا شش است، پس داریم:
n(S)=6n(S) = 6n(S)=6
اعداد اول در تاس عبارتاند از{2,3,5}\{2, 3, 5\}{2,3,5}، پس تعداد حالات مطلوب میشود:
n(A)=3n(A) = 3n(A)=3
محاسبه احتمال بهصورت زیر انجام خواهد شد:
P(A)=n(A)n(S)=36=12P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}P(A)=n(S)n(A)=63=21
پس احتمال آمدن عدد اول برابر با12\frac{1}{2}21یا پنجاه درصد است.
دو سکه را با هم پرتاب میکنیم. احتمال اینکه هر دو سکه رو بیایند، چقدر است؟
تمام حالتهای ممکن برای پرتاب دو سکه (فضای نمونهای) عبارتاند از:
S={(پ,پ),(پ,ر),(ر,پ),(ر,ر)}S = \{(\text{پ}, \text{پ}), (\text{پ}, \text{ر}), (\text{ر}, \text{پ}), (\text{ر}, \text{ر})\}S={(پ,پ),(پ,ر),(ر,پ),(ر,ر)}
پس کل حالاتn(S)=4n(S) = 4n(S)=4است.حالت مطلوب (هر دو رو) به شکل زیر هستند:
A={(ر,ر)}⟹n(A)=1A = \{(\text{ر}, \text{ر})\} \implies n(A) = 1A={(ر,ر)}⟹n(A)=1
محاسبه احتمال به شکل زیر خواهد بود:
P(A)=14P(A) = \frac{1}{4}P(A)=41
دایره یکی از اشکال هندسی است که مهمترین مشخصه آن شعاع است. فاصله مرکز دایره از هر نقطه روی محیط آن، شعاع نامیده میشود. دو برابر شعاع دایرهقطر دایرهاست. در مورد این شکل دو بعدی چند نکته مهم وجود دارد که عبارتاند از:
- اگر بین یک خط و دایره تنها یک نقطه مشترک وجود داشته باشد، در این صورت میگوییم اینخط بر دایره مماساست.شعاع دایره همواره به محیط داخلی آن عمود است.زاویه مرکزی در دایره به زاویهای گفته میشود که راس آن در مرکز دایره قرار دارد.زاویه محاطیدر دایره به زاویهای گفته میشود که راس آن روی محیط دایره قرار دارد.پارهخطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل میکند. بزرگترین وتر دایره یا قطر آن است.
نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل نهم
در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای آخرین فصل میپردازیم. پیش از شروع میتوانید مهمترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:
فاصله مرکز یک دایره تا خطی برابر با555سانتیمتر است. اگر شعاع دایره برابر با888سانتیمتر باشد، وضعیت خط و دایره را مشخص کنید:
چون فاصله خط تا مرکز (d=5d = 5d=5) از شعاع دایره (r=8r = 8r=8) کمتر است (5<85 < 85<8)، پس خط و دایره دو نقطه مشترک دارند و خط، دایره را قطع میکند (خط متقاطع است).
از یک نقطه خارج دایره به فاصله131313سانتیمتر از مرکز، خط مماسی به دایره رسم کردهایم. اگر شعاع دایره555سانتیمتر باشد، طول پارهخط مماس یعنی فاصله نقطه بیرونی تا نقطه تماس را بهدست آورید:
شعاع رسم شده به نقطه تماس بر خط مماس عمود است. بنابراین یک مثلث قائمالزاویه تشکیل میشود که در آن وتر مثلث مساوی با فاصله نقطه تا مرکز (131313) است. یک ضلع قائمه مساوی با شعاع دایره (555) است. ضلع دیگر را به کمک قضیه فیثاغورس محاسبه میکنیم:
x2+52=132x^2 + 5^2 = 13^2x2+52=132
x2+25=169x^2 + 25 = 169x2+25=169
x2=169−25=144x^2 = 169 - 25 = 144x2=169−25=144
x=144=12x = \sqrt{144} = 12x=144=12
پس طول پارهخط مماس برابر با121212سانتیمتر است.
در آخرین بخش با حل سوالات چهار گزینهای آزمون زیر میتوانید میزان تسلط خود را به مباحث ریاضی هشتم بیازمایید.
- مجموعه آموزش ریاضی متوسطه دوم – درس، تمرین، حل مثال و تستمجموعه آموزش ریاضی و فیزیک دوره متوسطه – درس، تمرین، حل مثال و تستمجموعه آموزش مفاهیم پایه ریاضی و هندسه – به زبان سادهفرمول های ریاضی نهم در یک نگاه و با مثالفرمول های ریاضی دهم در یک نگاه و با مثال
برای دریافت آموزشهای تخصصی بیشتر در حوزه فناوری اطلاعات، با تیم گسترش اندیشه پویا در تماس باشید.