مجذور چیست؟ – به زبان ساده + تفاوت با جذر و مکعب

در ادامه آموزش گسترش اندیشه پویا:

مجذور یا مربع یک عدد به معنای ضرب یک عدد در خودش است. وقتی یک عدد را دو بار در خودش ضرب کنیم، می‌گوییم آن عدد را به توان دو رسانده‌ایم یا آن را مجذور کرده‌ایم. در این مطلب از مجله ابتدا توضیح می‌دهیم مجذور چیست. سپس با مفهوم مجذور کامل آشنا می‌شوید و یاد می‌گیرید روش‌های تشخیص آن چیست و با چه روش‌هایی می‌توانیم مجذور اعداد دو رقمی را سریع پیدا کنیم. همچنین تفاوت مجذور با جذر و مکعب را نیز فراخواهید گرفت.

با تفاوت‌های جذر و مجذور آشنا می‌شوید.یاد می‌گیرید مکعب و مجذور توان چندم یک عدد هستند.روش‌های محاسبه سریع مجذور را خواهید شناخت.ویژگی‌های مجذور کامل را همراه با بررسی مثال می‌آموزید.روش‌های تشخیص اعداد مربع کامل را فرامی‌گیرید.

مجذور در ریاضی به معنای ضرب کردن یک عدد در خودش است. اگر عددی در خودش ضرب شود، می‌توانیم حاصل را معادلتوان دومآن عدد در نظر بگیریم. بنابراین اگر برایaaaوbbbرابطهb=a×ab= a \times ab=a×aبرقرار باشد، در این صورت می‌گوییم:

مجذورaaaبرابر است باbbb

a2a^2a2برابر است باbbb

برای اینکه بهتر متوجه شوید مجذور چیست، به مثال‌های ساده زیر توجه کنید:

می‌دانیم2×2=42 \times 2 = 42×2=4، بنابراین مجذور222برابر است با444.می‌دانیم5×5=255 \times 5 = 255×5=25، پس مجذور555برابر است با252525.

پس اعداد444و252525به ترتیب مجذور اعداد222و555هستند.444و252525را مجذور کامل یا مربع کامل می‌نامیم.

نکته: مجذور هر عدد منفی، همیشه یک عدد مثبت است، چون حاصل‌ضرب منفی در منفی، مثبت است (−5×−5=25-5 \times -5 = 25−5×−5=25).

به مجذور، مربع هم گفته می‌شود. دلیل این نامگذاری این است که اگر شما یک مربع واقعی داشته باشید که طول هر ضلع آن444سانتی‌متر باشد، برای محاسبه‌ مساحت آن باید یک ضلع را در خودش ضرب کنید (4×44 \times 44×4). پس مساحت این مربع161616سانتی‌متر مربع خواهد بود. به همین علت در ریاضی به توان دوم یک عدد، مربع یا مجذور می‌گویند.

درک مفهوم مجذور کامل یا مربع کامل به شما کمک می‌کند تا بهتر متوجه شوید که منظور از مجذور چیست. یک عدد طبیعی را زمانی مربع کامل می‌نامیم که مجذور یک عدد طبیعی دیگر باشد. برای نمونه اعداد زیر همگی مربع کامل هستند:

مربع‌های کامل را می‌توان در قطر اصلی جدول ضرب مشاهده کرد، جایی که هر عدد در خودش ضرب می‌شود. جدول زیر نشان می‌دهد برای اعداد یک تا ده مجذورها یا مربع‌های کامل چه هستند:

یادگیری جذر و مجذور با

مبحث جذر و مجذور دردرس ریاضیپایه‌های هفتم و هشتم به‌طور کامل توضیح داده می‌شود. در این بخش با معرفی چند فیلم آموزشی برای این کتاب‌های درسی به شما کمک می‌کنیم تا بتوانید با حل تمرین‌های بیشتر در کنار آموزش تصویری تسلط خود را به این موضوع تکمیل کنید:

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم + گواهینامه فرادرسفیلم آموزش رایگان محاسبه جذر + مثال‌های کاربردی فرادرسفیلم آموزش رایگان تفاوت جذر و مجذور چیست؟ + معرفی فرمول و تحلیل مفاهیم فرادرس

چگونه تشخیص دهیم یک عدد مجذور کامل است؟

برای اینکه بتوانیم مربع کامل بودن یک عدد را تشخیص دهیم، کافی است آن عدد را بهشمارنده‌ها یا عوامل اولتجزیه کنیم. اگر تمام عوامل اول یک عدد را بتوان به صورت جفت‌های مساوی گروه‌بندی کرد، آن عدد مربع کامل است. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم ببینیم عدد576576576یک مربع کامل است یا خیر. ابتدا آن را به شکل زیر به عوامل اول تجزیه می‌کنیم:

576÷2=288288÷2=144144÷2=7272÷2=3636÷2=1818÷2=99÷3=33÷3=1\begin{aligned} 576 \div 2 &= 288 \\ 288 \div 2 &= 144 \\ 144 \div 2 &= 72 \\ 72 \div 2 &= 36 \\ 36 \div 2 &= 18 \\ 18 \div 2 &= 9 \\ 9 \div 3 &= 3 \\ 3 \div 3 &= 1 \end{aligned}576÷2288÷2144÷272÷236÷218÷29÷33÷3​=288=144=72=36=18=9=3=1​

576=2×2×2×2×2×2×3×3576 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3576=2×2×2×2×2×2×3×3

پس عدد576576576از666تا عدد222و222تا عدد333تشکیل شده و به شکل زیر ساده می‌شود:

576=26×32576 = 2⁶ × 3²576=26×32

به عبارت دیگر، می‌توانیم تمام عوامل این عدد را به‌صورت جفت‌های زیر دسته‌بندی کنیم:

576=22×22×22×32576 = 2 ^ 2 × 2 ^ 2 × 2 ^ 2 × 3 ^ 2576=22×22×22×32

این تقسیم‌بندی جفتی به ما نشان می‌دهد که576576576یک مربع کامل است. حالا اگر از هر جفت یک عامل برداریم یا اگر توان‌ها را نصف کنیم، جذر یا ریشه دوم576576576به‌دست می‌آید:

576=(2×2×2×3)2576 = (2 × 2 × 2 × 3 )^2576=(2×2×2×3)2

2×2×2×3=242 × 2 × 2 × 3 = 242×2×2×3=24

242=57624² = 576242=576

بنابراین576576576مجذور عدد242424است.

به این ترتیب مراحل تشخیص مربع کامل بودن یک عدد را می‌توانیم به شکل زیر در نظر بگیریم:

عدد موردنظر را به عوامل اول تجزیه کنید.عوامل مشابه را به‌صورت جفتی دسته‌بندی کنید.اگر هیچ عاملی بدون جفت باقی نماند، عدد داده شده مربع کامل است.در غیر این صورت عدد داده شده مربع کامل نیست.برای یافتن جذر عدد داده شده، از هر جفت یک عامل را انتخاب کرده و در هم ضرب کنید.

ویژگی‌ های اعداد مجذور کامل چیست؟

در بخش‌های قبل یاد گرفتیم مجذور چیست و چگونه می‌توانیم تشخیص دهیم یک عدد مربع یا مجذور کامل است. در این بخش با ویژگی‌های اعداد مربع کامل آشنا می‌شویم:

یک مربع کامل فقط به یکی از ارقام0،1،4،5،6،90 ، 1 ، 4 ، 5 ، 6 ، 90،1،4،5،6،9ختم می‌شود.هیچ مربع کاملی به ارقام2،3،7،82 ، 3 ، 7 ، 82،3،7،8ختم نمی‌شود.اگر مربع کاملی به صفر ختم شود، تعداد صفرهای انتهایی آن همیشه زوج است.مجذور هر عدد زوج، زوج و مجذور هر عدد فرد، فرد است.هر مربع کامل هنگام تقسیم بر333فقط می‌تواند باقیمانده000یا111را داشته باشد.اگر باقیمانده تقسیم عددی بر333برابر با222شود، آن عدد مربع کامل نیست.هر مربع کامل هنگام تقسیم بر555فقط می‌تواند باقیمانده‌000یا111یا444را داشته باشد.اگر باقیمانده تقسیم عددی بر555برابر با222یا333شود، آن عدد مربع کامل نیست.اگر عددی به555ختم شود، مجذور آن نیز به555ختم خواهد شد.از روی رقم یکان یک عدد می‌توان رقم یکان مجذور آن را تعیین کرد و برعکس.مجذور هر عدد طبیعی را می‌توان به‌صورت مجموع نخستین اعداد طبیعی فرد نوشت.بین مجذور دو عدد طبیعی متوالی، دقیقا2n2n2nعدد وجود دارد که مربع کامل نیستند.مجموع دو عدد طبیعی متوالی برابر است با اختلاف مجذورهای آن‌ دو عدد.حاصل‌ضرب هر دو مربع کامل همیشه یک مربع کامل دیگر است.

در ادامه این بخش به توضیح بیشتر و بررسی مثال‌های عددی مختلف در مورد این ویژگی‌ها می‌پردازیم تا بهتر متوجه شوید منظور از مجذور چیست و مجذورهای کامل چه ویژگی‌هایی دارند. برای شروع، در ویژگی سوم گفتیم که اگر یک مربع کامل به صفر ختم شود، تعداد صفرهای انتهایی آن همیشه زوج است. این نکته در جدول زیر نشان داده شده است:

همچنین طبق جدول بالا می‌توانیم نتیجه بگیریم که تعداد صفرهای انتهای مجذور همیشه دو برابر تعداد صفرهای انتهای عدد اولیه است. در نتیجه هیچ مربع کاملی نمی‌تواند تعداد فردی صفر در انتهای خود داشته باشد. در مورد چهارمین ویژگی به مثال زیر توجه کنید:

ملاحظه می‌کنید که مجذور عدد888که یک عدد زوج است،646464می‌شود (زوج)، در حالی که مجذور عدد فردی مانند777، عدد فرد دیگری (494949) است.

در مورد ویژگی‌های پنجم و ششم نیز عدد353535را در نظر بگیرید. می‌خواهیم ببینیم آیا این عدد یک مربع کامل است یا نه. کافی است آن را بر333تقسیم کرده و ببینیم باقیمانده این تقسیم چه می‌شود:

بنابراین353535مربع کامل نیست. نکته مهم در مورد این دو ویژگی این است که عکس آن‌ها همیشه درست نیست. برای مثال، می‌دانیم حاصل‌تقسیم181818بر333برابر است با666و باقیمانده000است. اما صفر شدن باقیمانده به این معنا نیست که181818یک مربع کامل است! بنابراین این نکته که هر مربع کاملی هنگام تقسیم بر333فقط می‌تواند باقیمانده000یا111داشته باشد، به این معنا نیست که هرگاه باقیمانده000یا111به‌دست آمد، لزوما مربع کامل داریم.

در مورد ویژگی بعدی عدد147147147را در نظر بگیرید:

147÷5147 \div 5147÷5

پس147147147مربع کامل نیست.

در مورد ویژگی نهم می‌خواهیم یک روش سریع را برای محاسبه مجذور اعدادی که به555ختم می‌شوند، توضیح دهیم. فرض کنید عدد موردنظر ما353535است و دنبال محاسبه سریع مجذور این عدد هستیم. ابتدا این عدد را به دو بخش333و555تقسیم کنید. سپس مجذور بخش دوم را به‌دست آورید که می‌شود252525. این عدد را بنویسید و بخش اول یعنی333را در عدد بعد از خودش به شکل زیر ضرب کنید:

3×4=123 × 4 = 123×4=12

حالا عدد121212را قبل از252525قرار دهید:

352=122535² = 1225352=1225

بنابراین با این روش ساده، مجذور353535را به سرعت به‌دست آوردیم. در مثالی دیگر، فرض کنید می‌خواهیم مجذور205205205را بدون ضرب این عدد در خودش که فرایندی پیچیده است، پیدا کنیم. چون205205205به555ختم شده است، پس از روش بالا استفاده می‌کنیم. دو بخش این عدد عبارت‌اند از202020و555:

20×21=42020 × 21 = 42020×21=420

و در انتها252525را قرار می‌دهیم:

2052=42025205² = 420252052=42025

در ویژگی بعدی گفتیم از روی رقم یکان یک عدد می‌توان رقم یکان مجذور آن را تعیین کرد و از روی رقم یکان مجذور یک عدد نیز می‌توان حدس زد که رقم یکان عدد اولیه چه بوده است. به عبارت دیگر، آخرین رقم یک عدد رابطه مشخصی با آخرین رقم مجذور آن دارد. جدول زیر این رابطه را نشان می‌دهد و در نتیجه، بهتر متوجه خواهید شد که مفهوم مجذور چیست:

برای مثال اگر عددی به888ختم شود، مجذور آن همیشه به444ختم خواهد شد. به همین ترتیب، اگر مجذور عددی به999ختم شود، رقم یکان عدد اولیه حتما333یا777بوده است. فهرست زیر چند مثال دیگر در این زمینه را نشان می‌دهد تا بهتر متوجه شوید منظور از این ویژگی اعداد مجذور کامل چیست:

122=14412² = 144122=144: رقم یکان222به444تبدیل شده است.172=28917² = 289172=289: رقم یکان777به999تبدیل شده است.242=57624² = 576242=576: رقم یکان444به666تبدیل شده است.352=122535² = 1225352=1225: رقم یکان555همچنان555باقی مانده است.

همچنین در ویژگی یازدهم به این نکته اشاره شد که مجذور هر عدد طبیعی را می‌توان به‌صورت مجموع نخستین اعداد طبیعی فرد نوشت. مثال‌های زیر این ویژگی اعداد مجذور کامل را بیشتر توضیح می‌دهند:

مجذور عدد111برابر است با اولین عدد فرد.مجذور عدد222برابر است با مجموع دو عدد فرد اول.مجذور عدد333برابر است با مجموع سه عدد فرد اول.مجذور عدد444برابر است با مجموع چهار عدد فرد اول.

22=1+3=42² = 1 + 3 = 422=1+3=4

32=1+3+5=93² = 1 + 3 + 5 = 932=1+3+5=9

42=1+3+5+7=164² = 1 + 3 + 5 + 7 = 1642=1+3+5+7=16

52=1+3+5+7+9=255² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 2552=1+3+5+7+9=25

این الگو به همین ترتیب ادامه پیدا می‌کند. پس می‌توانیم به این قاعده کلی برسیم که مجذور عددnnnبرابر است با مجموعnnnعدد طبیعی فرد اول. این ویژگی یکی از جالب‌ترین الگوهای موجود درنظریه اعداداست و نشان می‌دهد که اعداد مربع کامل را می‌توان تنها با جمع کردن اعداد فرد متوالی نیز به‌دست آورد.

در ویژگی بعدی به این نکته اشاره شده است که بین مجذور دو عدد طبیعی متوالی، دقیقا2n2n2nعدد غیرمربع کامل وجود دارد. به عبارت دیگر، اگر دو مربع کامل متوالی برابر باn2n^2n2و(n+1)2(n+1)^2(n+1)2باشند، تعداد اعدادی که بین آن‌ها قرار دارند و مربع کامل نیستند، برابر است با2n2n2n. عدد555را در نظر بگیرید. می‌دانیم:

طبق نکته بالا باید بین252525و363636دقیقا2n=2×5=102n = 2 \times 5 = 102n=2×5=10عدد غیرمربع کامل وجود داشته باشد. اگر بخواهیم این اعداد را بشماریم، به نتیجه زیر می‌رسیم که تعداد آن‌ها برابر است با ده:

26،27،28،29،30،31،32،33،34،3526، 27، 28، 29، 30، 31، 32، 33، 34، 3526،27،28،29،30،31،32،33،34،35

بنابراین این ویژگی به‌درستی برقرار است.

در سیزدهمین ویژگی، برای هر عدد طبیعیnnnمجموع دو عدد متوالی برابر می‌شود با اختلاف مجذورهای آن دو عدد. به بیان دیگر داریم:

n+(n+1)=(n+1)2−n2n + (n+1) = (n+1)^2 - n^2n+(n+1)=(n+1)2−n2

برای نمونه، اعداد طبیعی و پشت سر هم101010و111111را در نظر بگیرید. می‌دانیم مجموع این دو عدد می‌شود10+11=2110 + 11 = 2110+11=21. از طرفی اختلاف مجذور این دو عدد برابر است با:

112−102=121−100=2111² − 10² = 121 − 100 = 21112−102=121−100=21

ملاحظه می‌کنید که این دو مقدار با هم برابر هستند.

در ویژگی بعدی اعداد مربع کامل، یاد می‌گیریم که حاصل‌ضرب هر دو مربع کامل همیشه یک مربع کامل دیگر خواهد بود. دو مربع کامل مانند161616و252525را در نظر بگیرید. حاصل‌ضرب این دو مربع کامل برابر است با16×25=40016 × 25 = 40016×25=400که یک مربع کامل دیگر است:

16×25=(42)(52)=(20)2=40016 × 25 = (4²)(5²) = (20)² = 40016×25=(42)(52)=(20)2=400

مثال دیگر این ویژگی به شکل زیر است:

9×49=4419 × 49 = 4419×49=441

441=212441 = 21²441=212

پس حاصل‌ضرب دو مربع کامل یک مربع کامل دیگر شده است.

ارتباط سه‌ تایی فیثاغورثی و مجذور کامل

می‌دانیم بر اساسقضیه فیثاغورس، در هر مثلث قائم‌الزاویه اگر طول دو ضلع عمود بر هم برابر باaaaوbbbو طولوتربرابر باcccباشد، رابطه زیر برقرار است:

a2+b2=c2a² + b² = c²a2+b2=c2

هر مجموعه‌ سه عددی که در این رابطه صادق باشند، سه‌تایی فیثاغورثی نامیده می‌شوند. به عبارت دیگر، برای هر عدد طبیعیnnnبزرگتر از111، سه عدد زیر یک سه‌تایی فیثاغورثی تشکیل می‌دهند:

برای مثال، فرض کنید می‌خواهید سه‌تایی فیثاغورثی‌ای را بیابید که کوچک‌ترین عضو آن222222باشد. چون کوچکترین عدد برابر222222است، بنابراین داریم:

n2−1=121−1=120n² − 1 = 121 − 1 = 120n2−1=121−1=120

n2+1=121+1=122n² + 1 = 121 + 1 = 122n2+1=121+1=122

بنابراین(22،120،122)(22، 120، 122)(22،120،122)یک سه‌تایی فیثاغورثی است، چون قضیه فیثاغورث در مورد این سه عدد به شکل222+1202=122222² + 120² = 122²222+1202=1222برقرار است. پس از بیان این مقدمه، در ادامه به معرفی چند الگو می‌پردازیم که در مورد اعداد مربع کامل بکار می‌روند.

مجموع دو عدد مثلثی متوالی، همیشه یک مربع کامل است. دقت کنید عدد مثلثی به عددی گفته می‌شود که از مجموع چند عدد طبیعی متوالی و از111شروع می‌شود، مانند1،3،6،10،...1، 3، 6، 10،...1،3،6،10،....

مجموعnnnعدد طبیعی فرد اول برابر است باn2n^2n2:

1=1=121+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=521+3+5+7+9+11=36=62\begin{aligned} 1 &= 1 = 1^2 \\ 1 + 3 &= 4 = 2^2 \\ 1 + 3 + 5 &= 9 = 3^2 \\ 1 + 3 + 5 + 7 &= 16 = 4^2 \\ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 &= 25 = 5^2 \\ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 &= 36 = 6^2 \end{aligned}11+31+3+51+3+5+71+3+5+7+91+3+5+7+9+11​=1=12=4=22=9=32=16=42=25=52=36=62​

برای مثال، به مجموع پنج عدد طبیعی فرد اول زیر توجه کنید که برابر شده است با مجذور پنج:

1+3+5+7+9=25=521 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²1+3+5+7+9=25=52

اگر عدد111را به حاصل‌ضرب دو عدد فرد متوالی اضافه کنیم، حاصل برابر با مجذور عدد زوجی خواهد بود که بین آن دو عدد قرار دارد:

(1×3)+1=4=22(3×5)+1=16=42(5×7)+1=36=62(7×9)+1=64=82(9×11)+1=100=102\begin{aligned} (1 \times 3) + 1 &= 4 = 2^2 \\ (3 \times 5) + 1 &= 16 = 4^2 \\ (5 \times 7) + 1 &= 36 = 6^2 \\ (7 \times 9) + 1 &= 64 = 8^2 \\ (9 \times 11) + 1 &= 100 = 10^2 \end{aligned}(1×3)+1(3×5)+1(5×7)+1(7×9)+1(9×11)+1​=4=22=16=42=36=62=64=82=100=102​

به همین ترتیب، اگر عدد111را به حاصل‌ضرب دو عدد زوج متوالی اضافه کنیم، حاصل برابر با مجذور عدد فردی خواهد بود که بین آن دو قرار گرفته است:

(2×4)+1=9=32(4×6)+1=25=52(6×8)+1=49=72(8×10)+1=81=92(10×12)+1=121=112\begin{aligned} (2 \times 4) + 1 &= 9 = 3^2 \\ (4 \times 6) + 1 &= 25 = 5^2 \\ (6 \times 8) + 1 &= 49 = 7^2 \\ (8 \times 10) + 1 &= 81 = 9^2 \\ (10 \times 12) + 1 &= 121 = 11^2 \end{aligned}(2×4)+1(4×6)+1(6×8)+1(8×10)+1(10×12)+1​=9=32=25=52=49=72=81=92=121=112​

مجذور هر عدد فرد به جز عدد111را می‌توان به صورت مجموع دو عدد طبیعی متوالی نوشت:

32=9=4+552=25=12+1372=49=24+2592=81=40+41112=121=60+61\begin{aligned} 3^2 &= 9 = 4 + 5 \\ 5^2 &= 25 = 12 + 13 \\ 7^2 &= 49 = 24 + 25 \\ 9^2 &= 81 = 40 + 41 \\ 11^2 &= 121 = 60 + 61 \end{aligned}32527292112​=9=4+5=25=12+13=49=24+25=81=40+41=121=60+61​

تفاوت جذر و مجذور چیست؟

جذر و مجذور دو مفهوم عکس هم هستند مانند مثل ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق. برای اینکه بهتر متوجه شوید تفاوت جذر و مجذور چیست، جدول زیر را بررسی کنید:

پس زمانی که یک عدد را دو بار در خودش ضرب می‌کنید، آن را مجذور کرده‌اید. همان‌طور که در بخش‌های قبل گفتیم، نام دیگر مجذور، مربع یا توان دوم است. اما جذر یعنی پیدا کردن ریشه یا عدد اولیه‌ای که ضرب در خودش شده است. به زبان ساده، وقتی به شما می‌گویند جذر یک عدد را بگیرید، یعنی از خود بپرسید که چه عددی در خودش ضرب شده است تا این عدد به‌دست آید. نماد ریاضی ریشه دوم یا جذررادیکالاست.

تفاوت مکعب و مجذور چیست؟

مجذور و مکعب دو مفهوم متفاوت در ریاضی هستند که نشان می‌دهند یک عدد چند بار در خودش ضرب شده است. تفاوت اصلی این دو مفهوم، در تعداد دفعات ضرب یک عدد در خودش است:

مجذور (مربع): یک عدد دو بار در خودش ضرب می‌شود.مکعب: یک عدد سه بار در خودش ضرب می‌شود.

جدول زیر نشان می‌دهد تفاوت مکعب و مجذور چیست:

روش های محاسبه مجذور یک عدد

پس از اینکه آموختید مجذور چیست و مربع کامل بودن یک عدد چه ویژگی‌هایی دارد، در این قسمت می‌خواهیم روش‌هایی را به شما آموزش دهیم که با استفاده از آن‌ها بتوانید به سرعت مجذور یک عدد دو رقمی را پیدا کنید. پیش از شروع این بخش پیشنهاد می‌کنیم اگر می‌خواهید به انواع محاسبات سریع ریاضی مسلط شوید،فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی – به زبان ساده + گواهینامهرا مشاهده کنید که لینک آن نیز در ادامه برای دسترسی راحتتر شما قرار داده شده است:

در روش ستونی برای محاسبه مجذور یک عدد، اگر عدد مورد نظر یک عدد دو رقمی به صورتabababباشد، ابتدا سه ستون به شکل زیر تشکیل دهید:

در این جدول مقدار مربع رقم دهگان را در ستون اول، مقدار دو برابر حاصل‌ضرب رقم دهگان و یکان را در ستون دوم و مربع رقم یکان را در ستون سوم قرار داده‌ایم. حالا مراحل زیر را قدم به قدم اجرا کنید:

زیر رقم یکان عدد به‌دست آمده در ستون سوم خط بکشید.اگرb2b^2b2دارای رقم دهگان بود، آن را به2ab2ab2abاضافه کنید.زیر رقم یکان عدد به‌دست آمده در ستون دوم نیز خط بکشید.اگر پس از این مرحله در ستون دوم رقمی باقی مانده باشد که زیر آن خطی کشیده نشده است، آن را به مقدارa2a^2a2در ستون اول اضافه کنید.زیر کل عددی که به این ترتیب در ستون اول به دست آمده، خط بکشید.حالا تمام اعدادی که زیر آن‌ها خط کشیده شده است را به همان ترتیبی که از ستون اول تا ستون سوم قرار دارند، کنار یکدیگر بنویسید.عدد حاصل برابر است با مجذور عدد اولیه.

برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم بدانیم در مورد عدد383838، مقدار مجذور چیست. رقم یکان این عدد888و رقم دهگان آن333‌ است. پس داریم:

طبق این روش، نتیجه برابر می‌شود با382=144438² = 1444382=1444.

دومین روش محاسبه سریع مجذور یک عدد، استفاده از روش قطری است که شامل مراحل زیر است:

یک مربع رسم کنید و آن را متناسب با تعداد رقم‌های عدد موردنظر به زیرمربع‌های مساوی تقسیم کنید.قطرهای هر زیرمربع را رسم کنید.رقم‌های عدد را به‌ ترتیب در امتداد سطر بالا و ستون سمت چپ مربع بنویسید.هر رقم موجود در ستون سمت چپ را در هر رقم موجود در سطر بالا ضرب و حاصل را در زیرمربع متناظر یادداشت کنید.اگر حاصل یک‌ رقمی بود، آن را زیر قطر بنویسید و عدد صفر را بالای قطر قرار دهید.اگر حاصل دو رقمی بود، رقم یکان را زیر قطر و رقم دهگان را بالای قطر بنویسید.از پایین‌ترین قطر شروع کنید و اعداد قرار گرفته روی هر قطر را با هم جمع کنید.رقم یکان حاصل جمع را ثبت کنید و در صورت وجود رقم دهگان، آن را به قطر بالایی منتقل کنید.این فرآیند را تا بالاترین قطر ادامه دهید.رقم‌های یکان به‌دست‌ آمده را به‌ترتیب کنار هم قرار دهید و رقم‌های باقیمانده در بالاترین قطر را در ابتدای آن‌ها بنویسید.عدد نهایی برابر است با مجذور عدد اولیه.

دقت کنید در مورد مرحله اول، اگر عدد موردنظر ما دو رقمی باشد، چهار و اگر سه رقمی باشد، نه زیرمربع لازم داریم. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم مجذور عدد868686را به روش قطری محاسبه کنیم. ابتدا یک مربع رسم می‌کنیم. سپس گام به گام به شکل زیر پیش می‌رویم تا مشخص شود مجذور چیست:

چون868686دو رقمی است، پس مربع را به چهار خانه کوچک تقسیم می‌کنیم.قطرهای مربع را رسم می‌کنیم.ارقام888و666را مطابق شکل، هم به صورت افقی و هم عمودی می‌نویسیم.هر رقم سمت چپ را در هر رقم بالای ستون ضرب می‌کنیم و حاصل را در خانه متناظر می‌نویسیم.اگر حاصل یک‌ رقمی شد، آن را زیر قطر نوشته و عدد000را بالای قطر قرار می‌دهیم.اگر حاصل دو رقمی شد، رقم یکان را زیر قطر و رقم دهگان را بالای قطر می‌نویسیم.

حالا از پایین‌ترین قطر شروع کرده و اعداد روی هر قطر را با هم جمع می‌کنیم.رقم یکان هر جمع را مشخص کرده و اگر رقم دهگان وجود داشت، آن را به قطر بعدی منتقل می‌کنیم.رقم‌های مشخص‌ شده را به همراه رقم‌های باقیمانده در بالاترین قطر کنار هم قرار می‌دهیم.عدد حاصل مجذور عدد اولیه است، یعنی داریم:

862=739686² = 7396862=7396

حل مثال و تمرین از مجذور

در انتهای این مطلب از مجله و پس از اینکه یاد گرفتید تفاوت مکعب، جذر و مجذور چیست، به حل و بررسی چند نمونه سوال می‌پردازیم تا به تسلط کاملی در این موضوع دست پیدا کنید.

آیا عدد500500500یک مربع کامل است؟ اگر پاسخ منفی است، به سوالات زیر پاسخ دهید:

عددی را پیدا کنید که عدد500500500باید در آن ضرب شود تا حاصل‌ضرب، یک مربع کامل باشد.عددی را پیدا کنید که عدد500500500باید بر آن تقسیم شود تا خارج‌قسمت، یک مربع کامل باشد.

با استفاده از روش تجزیه به عوامل اول، خواهیم داشت:

500=2×2×5×5×5500 = 2 × 2 × 5× 5 × 5500=2×2×5×5×5

در این تجزیه، دو عامل اول و دو عامل آخر را می‌توان به‌صورت جفت‌هایی از عوامل مساوی گروه‌بندی کرد، اما عامل555آخر را نمی‌توان با هیچ عامل دیگری جفت کرد. بنابراین عدد500500500یک مربع کامل نیست. در ادامه برای پاسخ به اولین سوال، از آنجا که عامل555بدون جفت باقیمانده است، پس باید عدد500500500را در555ضرب کنیم تا حاصل یک مربع کامل شود:

500×5=2×2×5×5×5×5500 × 5 = 2 × 2 × 5× 5 × 5 × 5500×5=2×2×5×5×5×5

ملاحظه می‌کنید که حالا تمام عوامل به‌صورت جفت‌های مساوی گروه‌بندی شده‌اند. بنابراین، عدد موردنیاز برابر است با555. در دومین سوال، چون عامل555بدون جفت باقیمانده است، باید عدد500500500را بر555تقسیم کنیم تا خارج‌قسمت، یک مربع کامل شود:

500÷5=2×2×5×5500 \div 5 = 2 × 2 × 5× 5500÷5=2×2×5×5

حالا تمام عوامل به‌صورت جفت‌های مساوی گروه‌بندی شده‌اند. بنابراین، عدد موردنیاز در این سوال نیز برابر با555است.

یک سه‌تایی فیثاغورثی بنویسید که یکی از اعضای آن عدد363636باشد:

بنابراین طبق توضیحاتی که در بخش‌های قبل داشتیم، دو بخش دیگر از سه‌تایی به شکل زیر محاسبه خواهند شد:

n2−1=182−1=323n^2 - 1 = 18^2 - 1 = 323n2−1=182−1=323

n2+1=182+1=325n^2 + 1 = 18^2 + 1 = 325n2+1=182+1=325

بنابراین سه‌تایی فیثاغورثی برابر است با(36،323،325)(36، 323، 325)(36،323،325).

بدون انجام عمل جمع، حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید:

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+271 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 271+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27

عبارت بالا مجموع141414عدد طبیعی فرد اول است. با استفاده از ویژگی اعداد مربع کامل می‌دانیم که مجموعnnnعدد طبیعی فرد اول برابر باn2n^2n2. چون در این عبارت141414عدد فرد وجود دارد، بنابراین داریم:

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27=1421+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27= 14^21+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27=142

پس کافی است مجذور141414را محاسبه کنیم:

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27=1961+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27=1961+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27=196

اعداد زیر را به‌صورت مجموع اعداد طبیعی فرد بیان کنید.

ابتدا عدد646464را به‌صورت مجموع اعداد طبیعی فرد نمایش می‌دهیم. می‌دانیم که مجموعnnnعدد طبیعی فرد اول برابر است باn2n^2n2و چون64=8264 = 8^264=82پس عدد646464برابر است با مجموع888عدد طبیعی فرد اول. یعنی داریم:

64=1+3+5+7+9+11+13+1564=1+3+5+7+9+11+13+1564=1+3+5+7+9+11+13+15

به همین شکل در مورد نمایش عدد144144144به‌صورت مجموع اعداد طبیعی فرد نیز داریم122=14412^2 = 144122=144. پس144144144برابر است با مجموع121212عدد طبیعی فرد اول:

144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23

چه تعداد عدد طبیعی غیرمربع کامل بین مجذور اعداد زیر قرار دارد؟

141414و151515606060و616161

می‌دانیم که بین مجذور دو عدد طبیعی متوالی یعنی بینn2n^2n2و(n+1)2(n+1)^2(n+1)2دقیقا2n2n2nعدد غیرمربع کامل وجود دارد. بنابراین بین مجذورهای141414و151515تعداد2×14=282 \times 14 = 282×14=28عدد طبیعی غیرمربع کامل وجود دارد و بین مجذورهای دو عدد606060و616161نیز2×60=1202 \times 60 = 1202×60=120عدد طبیعی غیرمربع کامل وجود دارد.

مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور – درس، تمرین، حل مثال و تستمجموعه آموزش دروس پایه هشتم – درس، تمرین، حل مثال و تستآموزش علوم تجربی پایه نهم – بخش فیزیکساده کردن رادیکال ها – به زبان ساده با مثال و تمرینکسر تلسکوپی – روش حل به زبان ساده + مثال و تمرین

برای دریافت آموزش‌های تخصصی بیشتر در حوزه فناوری اطلاعات، با تیم گسترش اندیشه پویا در تماس باشید.